《X射线衍射的晶体学基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《X射线衍射的晶体学基础（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 问题 如果以金属Ni作为CuK 滤波片 要求只有2 的K 辐射穿过 请计算滤波片的厚度和K 的透射率 Ni 8 92g cm3 m CuK 49 2cm2 g m CuK 286cm2 g 解答 1 K 滤波片的厚度计算 当一束平行的X射线垂直投射到吸收体的表面时 其透射光的强度I为 I I0exp m H 1 式中 H为吸收体的厚度 为吸收体的密度 m为吸收体的质量吸收系数 将公式 1 整理成log10的形式 log I0 I 0 434 m H 2 按题义要求 CuK 的I0 I 50 代入公式 2 中得 H log50 0 434 286 8 92 H 15 3 m2 K 的透射率计算
2、 滤波片的厚度已确定为15 2 mlog 100 I 0 434 49 2 8 92 0 00153logI log100 0 291I 101 71 51 3即在此条件下CuK 辐射的透射率为51 3 一 晶体结构的周期性和点阵1 晶体结构的特征 周期性晶体具有如下共同性质 1 均匀性 2 各向异性 3 自范性 4 固定的熔点上述晶体的特性是晶体内部原子或分子作周期性排列的必然结果 是各种晶态物质的共性 也是晶体的最基本性质 X射线衍射的晶体学基础 重复图形与点阵一定的结构单元按一定的方式重复而成的图形称为重复图形 晶体是三维重复图形 它的结构单元是由组成晶体的原子或原子团构成 点阵是重复图
3、形中环境相同点的排列阵式 它仅是图形或物质排列规律的一种数学抽象 并没有具体的物质内容 点阵中的点称为阵点或结点一维重复图形的重复规律可以用一维点阵 点列 来描述二维重复图形的重复规律可以用二维点阵 点网 来描述三维重复图形的重复规律可以用三维点阵 空间点阵 来描述不论晶体结构多么复杂 总可以从其结构中抽象出比此结构简单得多的点阵 并由该点阵描述晶体结构的重复规律 一维重复图形 一维点阵 点列 一维点阵 点列 中原点为O 初级矢 a一维点阵中任一结点的位置 r ua u为任意整数 二维重复图形 二维点阵 点网 二维点阵 点网 中任一结点的位置 r ua vb u v为任意整数 三维点阵 空间点
4、阵 中任一结点的位置 r ua vb wc u v w为任意整数 初级矢群 a0 b0 c0 能给出点阵中所有结点的相对位置 但它们不能直观的给出点阵的形貌 为此引入阵胞的概念 阵胞 以初级矢或特定平移矢为边棱作成的平行四边形或平形六面体 空间点阵由完全相同的阵胞密排堆积而成 阵胞是组空间成点阵的基本单元 研究晶体的点阵时可以仅研究它的阵胞 点阵参数 a b c 在三维点阵中决定阵胞的形状有六个量 三个棱有长度 a b c及它们之间的夹角 称它们为点阵参数 仅包含一个结点的阵胞称为初级阵胞或原胞 单胞 它是由初级矢群构成的 单胞记为P三维复胞有体心 底心和面心三种 分别记为I C和F 根据阵胞
5、的外形特点 可以把它们分为七类 或六类 称为七个晶系 或六个晶系 四类阵胞和七个晶系相结合 可以形成十四种空间点阵 布拉维首次证明了只可能有十四种空间点阵存在 所以又把这十四种点阵称为布拉维点阵 晶体的晶胞与其点阵的阵胞点阵参数相同 只是所包含的物质内容不同 如图为铝的阵胞和晶胞 它们之间的差别仅在于后者是以原子代替前者的结点 如图为氯化铯的点阵阵胞 当每个结点都以相同的方式放上一对氯和铯原子时 就形成氯化铯的晶胞 许多晶体 它们的结构虽然不同 但是点阵类型相同 图中表示出几种不同的晶胞 它们都属于面心立方点阵 都具有面心立方阵胞 因此 虽然天然的和人造的晶体品种繁多 结构千变万化 但是它们的
6、点阵仅有十四种类型 晶体中的倒易变换倒易点阵是由晶体点阵 正点阵 真点阵 经过一定的转化而构成的 倒易点阵本身是一种几何构图 倒易点阵方法是一种数学方法 倒易点阵是晶体学中极为重要的概念之一 它不仅可以简化晶体学中的某些计算问题 而且还可以形象地解释晶体的衍射几何 倒易点阵是由许多阵点构成的虚点阵 倒易点阵的空间称为倒易空间 其中每一个结点和原来晶体点阵中各个相应的晶面有倒易关系 从数学上讲 所谓倒易点阵就是由正点阵派生的一种几何图象 点阵 正点阵是直接从晶体结构中抽象出来的 而倒易点阵是与正点阵一一对应的 是用数学方法由正点阵演算出的 从物理上讲 正点阵与晶体结构相关 描述的是晶体中物质的分
7、布规律 是物质空间 或正空间 倒易点阵与晶体的衍射现象相关 它描述的是衍射强度的分布 1921年厄瓦尔德 EwaldP P 将倒易点阵方法引入衍射领域 后来伯纳尔 BernalJ D 又用它来解释周转晶体法中X射线衍射花样 现在倒易点阵方法已成为一种解释各种衍射问题非常有用的工具 如果晶体点阵用三个晶轴矢量a b c表示 其相应的倒易点阵可以用a b c 三个矢量来表示 a b c 的长度a b c 为倒易点阵三个棱的长度 倒易总阵与其相应晶体点阵间的基本关系是 a a 1a b 0a c 0b a 0b b 1b c 0c a 0c b 0c c 1倒易点阵的a 同时垂直于正点阵的b c 即
8、垂直于b c构成的平面倒易点阵的b 同时垂直于正点阵的c a 即垂直于c a构成的平面倒易点阵的c 同时垂直于正点阵的a b 即垂直于a b构成的平面 倒易点阵的定义 a b c v a bcsin vb b c v b casin vc b c v c absin vv a b c b c a c a b abc 1 cos2 cos2 cos2 2cos cos cos 1 2 为区别起见 从晶体结构中抽象出的空间点阵有时称为正点阵 正空间 倒易点阵则相应称为倒易点阵 倒空间 倒易点阵中的结点称为倒易结点或倒易点倒易点阵中任一倒易点的位置用矢量r hkl 或ghkl 可表示为 r ha k
9、b lc h k l为任意整数 倒易点阵阵胞的基本参数 a b c 立方晶系的倒易阵胞参数正点阵中的立方晶系 a b c a 90o V abc a3按倒易点阵定义 c 垂直于b a 即c 与c同方向 同理 a 与a同方向 b 与b同方向 即 90oa bcsin V a2sin90o a3 1 a 同理 b 1 b c 1 ca b c 1 a V 1 a3即 正点阵属于立方晶系时 其倒易点阵也属于立方晶系 三斜晶系倒易点阵阵胞参数按定义计算 公式不能简化 由倒易点阵阵胞参数特征可以看出 倒易点阵与其相应的正点阵具有相同类型的坐标系 倒易点阵的两个重要性质 1 倒易点阵中的一个方向 hkl
10、垂直于正点阵中的同名晶面 hkl 即 hkl hkl 正点阵中的一个方向 uvw 垂直于倒易点阵中的一个同名晶面 uvw 即 uvw uvw 2 正点阵中 晶面 hkl 的面间距dhkl是其同名倒易矢量ghkl长度的倒数即 dhkl 1 ghkl倒易点阵中 晶面 uvw 的面间距d hkl是其同名矢量rhkl长度的倒数即 d hkl 1 rhkl 倒易点阵中的一个结点hkl不仅代表着正点中的一个面列 khl 的方位 也由指向该点倒易矢的长度反应出这些面的面间距的大小 因此我们可以说 倒易点阵中的一个结点hkl代表着正点阵中一个面列 hkl 倒易点 倒易点阵结点的简称 的分布代表着正点阵中晶面列
11、的分布 晶带及晶带定律在晶体结构或空间点阵中 平行于同一个方向的所有晶面族称为一个晶带 该方向则称为晶带轴 例如 正方晶系中 001 晶带所包括的晶面族有 100 010 110 1 20 等等 根据晶带的定义 同一晶带中所有的晶面的法线都与晶带轴垂直 设晶带轴 uvw 的矢量为r ua vb wc 晶面 HKL 的法线矢量可用倒易矢量ghkl Ha Kb Lc 来表示 特两矢量点乘 则有 ua vb wc Ha Kb Lc 0由此可得 uH vK cL 0凡是属于同一晶带 uvw 的晶面 其晶面指数 HKL 都必须满足上式 此式称为晶带定律 如果已知两个晶面 h1k1l1 和 h2k2l2
12、可以利用晶带定律求出其晶带轴指数 uvw 按晶带定律 有 h1u k1v l1c 0h2u k2v l2c 0解出 uvw 为 正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的一个过原点的面相对应 或者 倒易点阵中一个过原点的平面代表着正点阵中的一个晶带 广义晶带定律 主要晶体学关系的计算 一 晶面法线的计算正点阵的中的晶面 hkl 与其法线 uvw 一般并不同名 然而它总与其倒易点阵中的同名矢量 hkl 垂直 既然 uvw 与 hkl 是同一晶面法线在两个坐标系中的表达 所以在不考虑矢量绝对长度时有ghkl ruvw 即ha kb lc ua vb wc将上式两边点乘a 有 u a a h a b k a
13、c l两边分别点乘b 或c 得 v b a h b b k b c lw c a h c b k c c l上述三个式子可写成矩阵形式 可见 如果某晶面 hkl 的指数为已知 要想得知其晶面法线指数 uvw 必须得知其倒易点阵的基矢a b c 如果已知正点阵中某一方向 uvw 的指数 求与其垂直的晶面指数 hkl 按倒易点阵的定义 同样有ua vb wc ha kb lc 将上式两边点乘a b c 有 h a au a bv a cwk b au b bv b cwl c au c bv c cw上述三个式子可写成矩阵形式 G G 分别代表正点阵及倒易点阵基矢量的标量积矩阵 也是晶面指数与其法
14、线指数之间的转换矩阵 例1立方晶系的晶面指数 hkl 与其法线指数 uvw 之间的关系立方晶系倒易单胞基矢群间的关系 a a b b c c 1 a2a b a c 0 即立方晶系的晶面指数与其法线指数同名 如 111 面的法线为 111 方向 123 面的法线为 123 方向等 例2六方晶系的晶面指数 hkl 与其法线指数 uvw 之间的关系图中给出了六方晶系正 倒点阵的基矢群间a b c和a b c 对于正点阵 三基矢之间的关系为 a a b b a2 c c c2a b a2cos120o a2 2a c b c 0 对于正点阵 三基矢之间的关系为 于是 在三轴坐标中 hkl 面的法线
15、UVW 是 也就说 在三指数系统中 hkl 面的法线是 2h kh 2k3a2l 2c2 与 UVW 方向垂直的面指数 hkl 是 也就说 在三指数系统中 与 UVW 方向垂直的面指数为 2U V2V U2c2W a2 如果以a1 a2 a3 c四轴系表示六方晶系中的晶面和晶向 则 hkli 与 uvtw 之间有 这表明 六方晶系在讨论晶面与其法向指数时用四指数表达比用三指数表达更简单 二 晶面间距的计算任意晶系晶面距d与晶面指数 hkl 和点阵a b c 之间的关系 可利用正 倒点阵的倒易关系dhkl 1 ghkl 求出 g g 1 d2 ha kb lc ha kb lc h2a 2 k2
16、b 2 l2c 2 2hka b 2klb c 2lhc a w c a h c b k c c l对立方晶系 a b c 90o 对六方晶系 a b c 90o 60o 三 二晶面间夹角 的计算如果晶面 h1k1l1 与 h2k2l2 的夹角为 则两晶面法线间的夹角也为 即g h1k1l1 与g h2k2l2 的夹角为 对立方系 例如 100 与 110 晶面的之间的夹角 arccos1 2 45o 100 与 111 晶面的之间的夹角 arccos1 3 54 7o 对六方系 例如 100 与 210 晶面的之间的夹角 arccos2 5 7 19 11o 四 晶面 hkl 的法线与某方向 uvw 的夹角 的计算晶面 hkl 的法线由倒易矢g描述 g ha kb lc 方向 uvw 由平移矢r描述 g ua vb wcg与r间的夹角为 有 对立方系 hkl 晶面与 hkl 方向的夹角 cos 1 0o 即晶面法线与同名的方向一致 而 110 晶面法线与 100 方向的夹角 arccos1 2 45o对六方系 有 在六方系中 晶面法线的指数不同于晶面指数 倒易面的绘制方法由于倒易点阵
