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1、第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，
2、得到该系统的固有频率。3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。解题步骤：（1）设系统的广义坐标为，写出系统对于坐标的动能T和势能U的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T和势能U的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const对时间求导得零,即，进一步
3、得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。方法一：衰减曲线法。求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值、。 （2）由对数衰减率定义 ， 进一步推导有， 因为较小， 所以有 。方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图： 单自由度系统的幅频曲线（2）分析以上幅频曲线图，得到：；于是 ；进一步 ；最后 ；1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比
4、的方法和步骤。用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。方法一：幅频（相频）曲线法当单自由度系统在正弦激励作用下其稳态响应为：,其中： ； (1) (2)从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比。 方法二：功率法：（1） 单自由度系统在作用下的振动过程中，在一个周期内，弹性力作功为 、阻尼力做功为 、激振力做作功为 ；（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零，即： +；于是 - 进一步得： ；（3） 当时，则 ，得 , 。m图1-33（a）1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 （
5、a）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k1、简支梁刚度为 ； 等效刚度为k;则有 ； 则固有频率为：； 图1-33（b）m（b）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为: ; 则固有频率为: m图1-33（c）(c)系统的等效刚度 则系统的固有频率为 图1-33（d）m（d）由动量距定理得： （）= 得： ， 则 。 1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k. 图1-34AB0x 解：以 为广义坐标，则 系统的动能为 系统的势能为： ；拉格朗日函数为L=T-U ;由拉格朗日方程 得 则，=所以：系统的固有频率为图1-35RM1.6求图1-35所示
6、系统的固有频率。图中磙子半径为R，质量为M，作纯滚动。弹簧刚度为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能T=T平动 +T转动 。 ；而势能；系统机械能;由得系统运动微分方程；得系统的固有频率 ； 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA，半径为rA，齿轮B的质量为mB，半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA, ,杆BD的扭转刚度为KB, 解：由齿轮转速之间的关系 得角速度 ；转角 ；系统的动能为：D（c）AB图1-36C； 系统的势能为：; 系统的机械能为；由 得系统运动微分方程；因此系统的固有频率为： ；1.8已知图所示振动系统中，匀质杆长为， 质量为m，两弹簧刚度皆为K，阻
7、尼系数为C，求当初始条件时（）的稳态解； （）的解； 解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程 ； 而 ； 得 ；化简得 (1)(1)求的稳态解；将代入方程（1）得 （2）令 得 （3）设方程（3）的稳态解为 （4）将（4）式代入方程（3）可以求得：； ；(2)求的解；将代入方程（1）得 （5）令 得 （6）方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励的响应。由方程（6）可以得到初始加速度；然后积分求初始速度 ；再积分求初位移；这样方程（6）的解就是系统对于初始条件、和的瞬态响应；将其代入方程（6）可以求得：最后得1.9图所示盒内有一弹簧振子，其质量为m，阻尼为C，刚度为K，处于静止状态，方
8、盒距地面高度为H，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间，由机械能守恒定理 的振子的初速度；k/2c mk/2H图1-38底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度的主动隔振系统的运动微分方程为： ； 或 或 系统的运动方程是对于初始条件的响应： ； ； ；k/2ck/2y(t)y my图1-391.10汽车以速度V在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m、k、c已知。路面波动情况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程： 其中：表示路面波动情况；1表示汽车上下波动位移。 将其整理为： (1) 将代入得 (2)汽车振动的稳态解: 设稳态响应为： 代入系统运动微分方程（1）可解得：；1.11.若电磁激振力可写为，求将其作用在参数为m、 k、 c的弹簧振子上的稳态响应。解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：其中：； 因为是偶函数，所以。于是 而 ；式中 ；1.12.若流体的阻尼力可写为,求其等效粘性阻尼。解：（1）流体的阻尼力为 ；（2）设位移为 ，而 ；（3）流体的阻尼力的元功为；（4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
