《12-5轴对称类全等问题(2).题库教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12-5轴对称类全等问题(2).题库教师版（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、轴对称类全等问题与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍， 【例1】 如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】西城区2006年抽样测试八年级（上）附加题，黄冈市数学竞赛试题【解析】，理由如下如图所示，在的延
2、长线上截取，连接因为是的外角平分线，故在和中，公用，因此，从而在中，而，故 【例2】 如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，求证 【考点】轴对称类全等问题；中点及中心对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，延长到，使，连接、因为，故，则因为，故因为，故因为，故因为平分，故在和中，故，从而，因此点评：实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想【例3】 如图，在中，是角平分线，垂足为求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图，延长交于于因为，所以于是因为，所以【例4】 已知等腰直角中，是
3、角平分线，交延长线于点求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】延长、交于点因为，所以，所以因为等腰直角中，且，所以，所以因为是角平分线，且，是公共边，所以所以，即【例5】 如图，在直角中，平分交于，作交的延长线于，则BD与的大小关系是_ 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】填空【关键词】天津市数学竞赛题【解析】延长、相交于点 由图可知，故， 又，故，又，故，从而可知【答案】【例6】 在中，平分，为垂足，为的中点，求证： 【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以
4、含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形【例7】 如图所示，在中，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证 【考点】轴对称类全等问题；中点及中心对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰，之后再证明是的中位线即可如图所示，延长、相交于点，在和中，故，从而，而，故是的中位线，从而【例8】 如图，在中，的平分线交于，过作，垂足为，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】解法一：如图，延长、交于，而，平分，故，解法二：如图，延长、交于，过作，交于，则，解法三：如图
5、，延长、交于，过作交于，故有，解法四：如图，取的中点，连接交于，则是斜边上的中线，故，有，故是的重心为的中线，故【例9】 在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证： 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为 之中点，故易得【例10】 如图，已知在中，求证： 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长交于，又，【例11】 是的角平分线，交的延长线于，交于求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2004年，山东省，中考【解析】略【答案】由“角平分线+垂直”联想到
6、等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形延长交的延长线于点，易证得，所以为的中点，又，所以为的中位线，故这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件【例12】 如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且 【考点】轴对称类全等问题，中点及中心对称类问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，延长到，使，连接 在和中，故，从而、三点共线，且是的中点，是的中位线，故，且【例13】 如图，内， ，分别在上，并且分别是，的平分线求证： 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2002年，全国初中竞赛【解析】略【答案】，又，延长到，使，又，又是的平分线，又，
7、即 【例14】 如图所示，在中，平分，于，求证 【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图所示，延长、相交于取的中点，连接，则，故，则容易证明，故因此【例15】 如图，中，、分别为两底角的外角平分线，于，于求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】，、是角平分线在与中，【例16】 在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，垂足分别是、求证：， 【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长、相交于点，延长、相交于点，易证，且【例17】 在中，、分别是三角形的内角、的角平
8、分线，垂足分别是、求证：，【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长、相交于点，延长、相交于点，易证，且【例18】 如图，在中，分别作两角的平分线，求证： 【考点】轴对称类全等问题，三角形的中位线【难度】4星【题型】解答【关键词】1999年，镇江市竞赛【解析】略【答案】分别延长，交于 可证得，于是是的中位线，【例19】 在，是的平分线，过作的垂线交直线于点若，试求和的度数【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】北京市数学竞赛试题，分类讨论【解析】由于点在直线上，因而应分两种情况讨论计算：(1) 如图所示，过作的垂线交的延长
9、线于点，延长到，使由题设平分知，注意到公用，则由角边角公理得，于是有又由知，从而在中，因此，(2) 如图所示，过作的垂线交的延长线于点，延长到，使由题设平分知，注意到公用，则，即有且又由知，从而于是在中，即有，即，【答案】，或，【例20】 如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？【考点】角平分线的性质和判定,轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】作，可推出，易证，【答案】【例21】 如图，平分，平分，点在上 探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】 ； 在线段上取点，使，连结在和
10、中，而在和中，【例22】 如图所示，平行于，那么_【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】过做交于F，使，易证；则【答案】6【例23】 如图所示，在中，于，的角平分线交与，交于，平行于交于，则_【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】角平分线、直角过作垂直交于点，易证；由角度分析易知，即；则有；又可证，则，则【答案】4【例24】 如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：是直角三角形【考点】轴对称类全等问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过做垂直于；由角的关系易得，即；易证；，；综合得到，得证【例25】 如
11、图，在中，、分别是、的平分线，求证：【考点】三角形的中位线,轴对称类全等问题 【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】如图，作，交于，交于为等腰三角形，且平分为中点，且平分，且为等腰三角形，且为的中点又，且为中点，即可以发现四边形为矩形，于是【例26】 在的斜边上分别取两点、，使，为垂足，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】同一法【解析】【答案】解法一：如图，作的平分线交于，连接，公共，而，与重合，故解法二：如图，连接，而，又，故，解法三：如图，连接，即而，又，是等腰直角三角形【例27】 在直角三角形中，的平分线交于自作交于，交于自作于，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】解法一：如图，4点共圆，又，故解法二：如图，连接是的平分线，四边形是菱形解法三：如图，公共，是的中垂线，故解法四：如图，延长交于，连接，显然，又，4点共圆，为等腰梯形，为等腰三角形，而，【例28】 已知在中，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：【考点】轴对称类全等问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】解法一：如图，由向作垂线，垂足为，连接又，
