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1、第12讲 选修2-2模块复习类型一 导数及其应用考点说明：导数的计算、导数在函数中的应用、生活中的优化问题是考查重点例1. 设，则f（2）=（）A B C D【答案】B【解析】，令u（x）=，则f（u）=lnu，f（u）=，u（x）=，由复合函数的导数公式得f（x）=，f（2）=，故选B例2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A3 B2 C1 D【答案】A【解析】设切点的横坐标为（x0，y0）,曲线的一条切线的斜率为，y=，解得x0=3或x0=2（舍去），即切点的横坐标为3,故选A例3.如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD【答案】A【解析
2、】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，故选A例4.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A2 B4 C2 D4【答案】D【解析】先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是（4xx3）dx，而（4xx3）dx=（2x2x4）|=84=4，曲边梯形的面积是4，故选D例5.设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）Af（x）0 Bf（x）0 Cf（x）x Df（x）x【答案】A【解析】2f（x）+xf（x）x2，令x=0，则f（x
3、）0，故可排除B，D如果 f（x）=x2+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf（x）x2 成立，但f（x）x 未必成立，所以C也是错的，选A例6.已知函数f（x）=x2xlnx（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间【答案】（1）f（x）=2x1，故f（1）=0，f（1）=0，故切线方程是y=0；（2）由（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，令f（x）0，解得x1，令f（x）0，解得0x1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增【解析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f（0），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函
4、数的不等式，求出函数的单调区间即可例7.已知函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=1和x=2处取得极值（1）求f（x）的表达式和极值（2）若f（x）在区间m，m+4上是单调函数，试求m的取值范围【答案】（1）f（x）=6x2+2ax+b，即，解得f（x）=2x33x212x+3，f（x）=6x26x12，f（x）0解得x1或x2由f（x）0解得1x2，故函数f（x）在（，1）和（2，+）递增，函数在（1，2）递减，所以当x=1时，有极大值10；当x=2时，有极小值17（2）由（1）知，若f（x）在区间m，m+4上是单调函数，需m+41或或m2，所以m5或m2【解析】（1）求出导函数，利用
5、导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b，代入f（x）和f（x）；令f（x）0求出x的范围即为递增区间，令f（x）0求出x的范围为递减区间，并利用极值的定义求出极值（2）根据题意，令m，m+4在（，1）内或在（2，+）内或在（1，2）内，列出不等式组，求出m的范围例8.已知函数f（x）=ln（x+a）x2x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，求实数b的取值范围【答案】（1）f（x）=2x1，f（0）=0，a=1（2）f（x）=ln（x+1）x2x，所以问题转化为b=ln（x+1）x2+x在0，2上有两个不同的解，从而可
6、研究函数g（x）=ln（x+1）x2+x在0，2上最值和极值情况g（x）=，g（x）的增区间为0，1，减区间为1，2gmax（x）=g（1）=+ln2，gmin（x）=g（0）=0，又g（2）=1+ln3，当b1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解【解析】（1）令f（x）=0，即可求得a值；（2） f（x）=x+b在区间0，2上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）x2+x在区间0，2上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）x2+x在0，2上最值和极值情况利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围类型二 推理与证明考点说明：合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明是难点
7、，数学归纳法是重点例9.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）A28 B76 C123 D199【答案】C【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故选C例10.证明不等式 （a2）所用的最适合的方法是（）A综合法 B分析法 C间接证法 D合情推理法【答案】B【解析】欲比较，的大小，只须比较，（ ）2=2a1+2，（ ）2=2a1
8、+，只须比较，的大小，以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法，故选B例11.用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A2k+1 B2（2k+1） C D【答案】B【解析】当n=k时，左端=（k+1）（k+2）（k+3）（2k），当n=k+1时，左端=（k+2）（k+3）（2k）（2k+1）（2k+2），故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为 =2（2k+1），故选 B例12.数列an满足Sn=2nan（nN*）（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明（）中的猜想【答案】（1）当n=
9、1时，a1=s1=2a1，所以a1=1当n=2时，a1+a2=s2=22a2，所以同理，由此猜想（2）证明：当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立假设n=k（k1且kN*）时，结论成立，即，那么n=k+1时，ak+1=sk+1sk=2（k+1）ak+12k+ak=2+akak+1，所以2ak+1=2+ak，所以，这表明n=k+1时，结论成立由知对一切nN*猜想成立【解析】（1）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（2）直接利用数学归纳法证明检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明类型三 数系的扩充与复数的引入考点说明：复数代数形式的四则运算是考查重
10、点例13. i为虚数单位，i607=（）Ai Bi C1 D1【答案】A【解析】i607=i606i=（i2）303i=（1）303i=i，故选A例14.若复数z=，其中i为虚数单位，则=（）A1+i B1i C1+i D1i【答案】B【解析】z=1+i，=1i，故选B例15.设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A3 B2 C2 D3【答案】A【解析】（1+2i）（a+i）=a2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a2=2a+1，解得a=3故选A例16.设z=+i，则|z|=（）A B C D2【答案】B【解析】z=+i=+i=故|z|=，故选B例17. 已知
11、=b+i（a，bR），其中i为虚数单位，则a+b=（）A1 B1 C2 D3【答案】B【解析】由得a+2i=bi1，所以由复数相等的意义知a=1，b=2，所以a+b=1,另解由得ai+2=b+i（a，bR），则a=1，b=2，a+b=1，故选B例18.复数z=（m2+5m+6）+（m22m15）i（mR），求满足下列条件的m的值（1）z是纯虚数；（2）在复平面内对应的点位于第三象限【答案】（1）若z是纯虚数，则，解得m=2（2）若z在复平面内对应的点位于第三象限，则解得3m2【解析】（1）利用纯虚数的定义和性质求解（2）利用z在复平面内对应的点位于第三象限的性质求解1、导数的计算、导数在函数中的应用、生活中的优化问题是考查重点2、合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明是难点，数学归纳法是重点3、复数代数形式的四则运算是考查重点
