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1、演练方阵第5讲 空间中的垂直关系直线与平面垂直的判定类型一: 线面垂直的定义及判定定理的理解考点说明：常以选择题进行考察、是空间垂直关系的基础【易】1下列条件中，能使直线m平面的是()Amb，mc，b，c Bmb，bCmbA，b Dmb，b【答案】D【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确【易】2已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A有且只有一个 B至多一个 C有一个或无数个 D不存在【答案】B【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在【易】3(2015大连高二检测)直线l平面,直线m,则l与m不可能()A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
2、【答案】A【解析】因为直线l平面,所以l与相交,又因为m,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm.故l与m不可能平行.【中】4(2015济南高一检测)直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关系是()A.l和平面相互平行B.l和平面相互垂直C.l在平面内D.不能确定【答案】D【解析】如图所示,直线l和平面相互平行,或直线l和平面相互垂直或直线l在平面内都有可能.【中】5(2015成都高二检测)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()ABD平面CB1D1 BAC1BD CAC1平面CB1D1 DAC1BD1【答案】D【解析】正方体中由BDB1D1，易知A
3、正确；由BDAC，BDCC1可得BD平面ACC1，从而BDAC1，即B正确；由以上可得AC1B1D1，同理AC1D1C，因此AC1平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1BD1不正确故选D.【中】6如图所示，PA平面ABC，在ABC中，BCAC，则图中直角三角形的个数有_【答案】4【解析】BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.【难】7(2015淮安高二检测)，四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有_个ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成
4、的角【答案】4【解析】因为SD底面ABCD，所以ACSD.因为ABCD是正方形，所以ACBD.又BDSDD，所以AC平面SBD，所以ACSB，故正确因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，故正确因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是SAD.故正确因为ABCD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故正确类型二: 线面垂直判定定理的应用考点说明：常结合线面垂直的定义考察【中】1(2016太原高一检测)如图，平面CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，则CD与AB的位置关系是_【答案】CDAB【解析】EA，CD，根据直线和平面垂直的定
5、义，则有CDEA.同样，EB，CD，则有EBCD.又EAEBE，CD平面AEB.又AB平面AEB，CDAB.【中】2已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形一定是_【答案】菱形【解析】如图，PA平面ABCD得PABD，又PCBD，BD平面PAC，BDAC，平行四边形ABCD为菱形【中】3如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.求证：AEBE.【答案】见解析【解析】AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE.又AE平面ABE，AEBC.BF平面ACE，AE平面ACE，AEBF.又BF平面BCE，BC平面BCE，BFBCB，AE平面B
6、CE.又BE平面BCE，AEBE.【难】4(2015广东河源高二期中)如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，给出下列结论：ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；ACSO.正确结论的序号是_【答案】【解析】连接SO，如图所示，因为四棱锥SABCD的底面为正方形，所以ACBD.因为SD底面ABCD，所以SDAC，因为SDBDD，所以AC平面SBD，因为SB平面SBD，所以ACSB，则正确；因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，则正确；因为SD底面ABCD，所以SAD和SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与
7、平面ABD所成的角，因为ADCD，SDSD，所以SADSCD，则正确；因为AC平面SBD，SO平面SBD，所以ACSO，则正确【难】5(2015北京市房山区高二期中)如图，已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EAAB2a，DCa，F是BE的中点，求证：(1)FD平面ABC；(2)AF平面EDB.【答案】见解析【解析】(1)因为F是BE的中点，取BA的中点M，连接FM，MC， 则FMEA，FMEAa，因为EA、CD都垂直于平面ABC，所以CDEA，所以CDFM，又CDaFM，所以四边形FMCD是平行四边形，所以FDMC，FD平面ABC，MC平面ABC，所以FD平面ABC.(2)
8、因为M是AB的中点，ABC是正三角形，所以CMAB.又EA垂直于平面ABC，所以CMAE，又AEABA，所以CM平面EAB，因为AF平面EAB，所以CMAF，又CMFD，从而FDAF，因为F是BE的中点，EAAB，所以AFEB.EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF平面EDB.【难】6如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足.(1)求证：AN平面PBM；(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.【答案】见解析【解析】(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANP
9、M，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平面PBM，PB平面PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.类型三: 直线与平面所成的角考点说明：常结合正余弦定理考察，考察频率高、难度较大【易】1如图，三棱锥PABC中，PAAB，PABC，则直线PB和平面ABC所成的角是()ABPA BPBA CPBC D以上都不对【答案】B【解析】由PAAB，PABC，ABBCB，得PA平面ABC，所以PBA为BP与平面ABC所成的角故选B.【易】2直线l与平面所成的角为70,直线lm,则m与所成的角等于()A.20 B.70 C.90 D.110【答案】
10、B【解析】因为lm,所以直线l与平面所成的角等于m与所成的角,又直线l与平面所成的角为70,所以m与所成的角为70.【中】3在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DO，D1O，cos DD1O.BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.【中】4如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是()A90 B60 C
11、45 D30【答案】D【解析】如图取B1D1的中点O1，连A1O1，易证A1O1平面DD1B1B.连接O1B，则O1B为A1B在平面DD1B1B内的射影，A1BO1为所求的线面角，在RtA1O1B中，sinA1BO1，A1BO130.【中】5如图所示，三棱锥ASBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直线AS与平面SBC所成的角【答案】见解析【解析】因为ASBASC60，SASBSC，所以ASB与SAC都是等边三角形因此ABAC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则ADBC.设SAa，则在RtSBC中，BCa，CDSDa.在RtADC中，ADa.则AD2SD2SA2，所以
12、ADSD.又BCSDD，所以AD平面SBC.因此ASD即为直线AS与平面SBC所成的角在RtASD中，SDADa，所以ASD45，即直线AS与平面SBC所成的角为45.【中】6如图所示，直角三角形ABC的斜边AB在平面内，AC，BC与所成的角分别为30，45，CD是直角三角形斜边AB上的高，求CD与平面所成的角【答案】见解析【解析】设C在平面内的射影为H，连接DH，AH，BH，如图所示，则易知CDH是CD与平面所成的角设CHm，则在RtCAH中，由CAH30可得CA2m.又在RtCBH中，由CBH45可得CBm.故在RtABC中，由CA2m，CBm，可得斜边上的高CD，则sinCDH，即CDH
13、60.故CD与平面所成的角为60.【难】7(2015唐山玉田县林南仓中学高二期末)如图，四面体ABCD的各棱长均相等，AD平面于点A，点B、C、D均在平面外，且在平面的同一侧，线段BC的中点为E，则直线AE与平面所成角的正弦值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，设四面体ABCD的棱长为a，则ABC为边长为a的正三角形，又E为BC边的中点，所以AEBC，则AEa.取AD的中点M，连接BM、CM，则BMAD，CMAD，又BMCMM，所以AD平面BCM，故平面BCM平面，所以平面BCM到平面的距离为，所以E到平面的距离为.则直线AE与平面所成角的正弦值sin ，故选A.【难】8如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC2，ADCD，PA，ABC120，G为线段PC上的点(1)证明：BD平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；
