《教培机构高中数学讲义][选修2-2 第1讲 导数的概念与运算]讲义教师版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][选修2-2 第1讲 导数的概念与运算]讲义教师版.pdf（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 高二数学 2017 秋季 第 1 页 第 1 讲 导数的概念与运算 1 了解导数产生的数学背景以及导数的定义 2 能够熟练掌握常见函数的导数以及导数的四则运算法则 3 掌握导数的几何意义以及曲线的切线方程 1 导数的定义以及导数的等价变形形式 2 导数的四则运算法则 3 导数在研究曲线切线方程中的应用 高二数学 2017 秋季 第 2 页 变化率与导数 1 在气球膨胀过程中 当空气容量从 V1增加到 V2时 气球的半径从 r V1 增加到 r V2 气球的平均膨胀率是r V2 r V1 V2 V1 随着气球体积逐渐变大 它的平均膨胀率逐渐变小 2 高台跳水运动员当高度从 h t1 变化到 h
2、 t2 时 他的平均速度为h t2 h t1 t2 t1 3 函数平均变化率的定义 已知函数 y f x 当自变量 x 从 x1变化到 x2时 函数值从 f x1 变化到 f x2 则当 x1 x2 时 比值f x2 f x1 x2 x1 为函数 f x 从 x1到 x2的平均变化率 习惯上用 x 表示 x2 x1 用 x1 x 代替 x2 类似地 y f x2 f x1 于是平均变化率可以表示为 y x 4 导数 函数 y f x 在 x x0处的瞬时变化率是lim x 0 y x lim x 0 f x0 x f x0 x 我们称它 为函数 y f x 在 x x0处的导数 记作 f x0
3、 或 y x x0 即 f x0 lim x 0 y x lim x 0 f x0 x f x0 x 例 1 质点运动规律为 s t t2 3 则从 3 到 3 t 的平均速度为 A 6 t B 6 t 9 t C 3 t D 9 t 答案 A 解析 平均速度 v s 3 t s 3 3 t 3 3 t 2 3 32 3 t 6 t t 2 t 6 t 故应选 A 练习 1 已知函数 f x 2x2 4 的图象上两点 A B 且 xA 1 xB 1 1 则函数 f x 从 A 点到 B 点的平均变化率为 A 4 B 4x C 4 2 D 4 02 答案 C 解析 f 1 1 f 1 1 1 1
4、 2 1 1 2 4 2 12 4 0 1 0 42 0 1 4 2 故应选 C 高二数学 2017 秋季 第 3 页 练习 2 已知函数 y 1 2 x 2 1 则函数从 x 0到 x0 x 的平均变化率是 答案 x0 1 2 x 解析 y x 1 2 x0 x 2 1 1 2 x 2 0 1 x x0 1 2 x 求函数 f x 的平均变化率的一般步骤为 求函数值的增量 y f x0 x f x0 计算平均变化率 y x f x0 x f x0 x 例 2 过曲线 f x x3上两点 P 1 1 和 Q 1 x 1 y 作曲线的割线 求出当 x 0 1 时割线的斜率 答案 3 31 解析
5、y f 1 x f 1 1 x 3 1 x 3 3 x 2 3 x 割线 PQ 的斜率 k y x x 3 3 x 2 3 x x x 2 3 x 3 设 x 0 1 时割线的斜率为 k1 则 k1 0 12 3 0 1 3 3 31 练习 1 已知物体的运动方程是 S 4t2 16t S 的单位为 m t 的单位为 s 则该物体在 t 2s 时的瞬时速度为 A 3m s B 2m s C 1m s D 0m s 答案 D 解析 S 4 2 t 2 16 2 t 4 22 16 2 4 t2 S t 4 t2 t 4 t v lim t 0 S t lim t 0 4 t 0 物体在 t 2s
6、 时的瞬时速度为 0m s 练习 2 设函数 f x 可导 则lim x 0 f 1 x f 1 3 x 等于 A f 1 B 3f 1 C 1 3f 1 D f 3 答案 C 高二数学 2017 秋季 第 4 页 解析 原式 1 3 lim x 0 f 1 x f 1 x 1 3f 1 利用定义求导数的时候 注意导数 f x0 的不同表达方式 y x x0 f x0 lim x x0 f x f x0 x x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 导数的公式 1 常见基本函数的导数 1 若 f x xn n N 则 f x nxn 1 2 若 f x 1 x 则 f x 1 x2 3
7、 若 f x x 则 f x x 1 4 若 f x sinx 则 f x cosx 5 若 f x cosx 则 f x sinx 6 若 f x ax 则 f x axlna a 0 若 f x ex 则 f x ex 7 若 f x logax 则 f x 1 xlna a 0 且 a 1 若 f x lnx 则 f x 1 x 2 导数的计算公式 1 求函数的改变量 xfxxfy 2 求平均变化率 x xfxxf x y 3 取极限 得导数 y fx x y x 0 lim 3 导数的简单应用 1 几何意义 函数 y f x 在 x x0处的导数 就是曲线 y f x 在 x x0处的
8、切线的斜率 即 k f x0 lim x 0 f x0 x f x0 x 且曲线 xfy 在点 00 xfx 处的切线方程为 00 0 xxxfxfy 2 物理意义 物体的运动方程 s s t 在点 t0处的导数 s t0 就是物体在 t0时刻的瞬时速 奎屯 王新敞 新疆 高二数学 2017 秋季 第 5 页 度 例 3 满足 f xfx 的一个函数是 A 1f xx B f xx C x f xe D 1f x 答案 C 解析 显然只有 C x f xe 满足 x fxef x 练习 1 设 f x 2x3 3 x2 5 则 f x 等于 A 10 x4 30 x2 6x B 12x3 C
9、6x4 30 x2 D 4x4 6x 答案 A 解析 由 f x 2x5 10 x3 3x2 15 f x 10 x4 30 x2 6x 练习 2 已知函数 f x 在 x 2 处的导数为 4 则 f x 的解析式可能为 A f x x2 4 B f x 2x C f x x3 D f x x 1 答案 A 解析 本题考查多项式函数的导数及导数的运算法则 将选项分别求导 A 正确 掌握基本函数的导数公式是计算函数导数的前提 建议将函数进行分类记忆 比如 指数函 数 幂函数 对数函数 三角函数等 例 4 曲线 y x2在点 P 1 1 处的切线方程为 A y 2x B y 2x 1 C y 2x
10、 1 D y 2x 答案 B 解析 y x x x 2 x2 x 2x x lim x 0 y x 2x y x 1 2 切线方程为 y 1 2 x 1 即 y 2x 1 练习 1 y ax2 1 的图象与直线 y x 相切 则 a A 1 8 B 1 4 高二数学 2017 秋季 第 6 页 C 1 2 D 1 答案 B 解析 y 2ax 设切点为 x0 y0 则 2ax0 1 x0 1 2a 切点在直线 y x 上 y0 1 2a 代入 y ax2 1 得 1 2a 1 4a 1 a 1 4 故选 B 练习 2 若曲线 y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为 3x y 1 0 则
11、 A f x0 0 C f x0 0 D f x0 不存在 答案 B 解析 由导数的几何意义可知曲线在 x0 f x0 处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率 所以 f x0 3 故选 B 在熟练掌握基本函数的导函数的基础上 理解导函数的几何意义 注意到切线方程的斜率就 是函数在该点处的导函数的值 例 5 一木块沿某一斜面自由下滑 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式 为 s 8 1 t2 则 t 2 时 此木块在水平方向的瞬时速度为 A 2 B 1 C 2 1 D 4 1 答案 C 解析 解法一 s 8 1 t2 s 4 1 t s t 2 4 1 2 2 1 解法二 也可运用
12、匀变速直线的速度公式来求解 8 1 t2 2 1 at2 a 4 1 v t at 4 1 t v t 2 4 1 2 2 1 练习 1 曲线 y x3 3x 上切线平行于 x 轴的点有 A 0 0 1 3 B 1 2 1 2 C 1 2 1 2 D 1 3 1 3 答案 B 解析 y 3x2 3 令 3x2 3 0 得 x 1 分别代入曲线方程 得 2 1 y x 或 2 1 y x 高二数学 2017 秋季 第 7 页 练习 2 某质点的运动方程是 2 12 ttS 则在 t 1s 时的瞬时速度为 A 1 B 3 C 7 D 13 答案 B 解析 计算 0 lim x 1 1 ssts t
13、t 即 熟练掌握函数导数的几何意义 即曲线在某点处的切线的斜率 物理意义 即变量在某时刻 的瞬时变化率 导数的运算律 1 若两个函数 xf和 xg的导数分别是 x f 和 x g 则 xgxfxgxfxgxfxgxf 即两个函数和 差 的导数等于这两个函数导数的和 差 2 若两个函数 xf和 xg的导数分别是 x f 和 x g 则 2 xg xgxfxgxf xg xf xgxfxgxfxgxf 特别地 当kxg 时 有 xf kxkf 例 6 已知函数 4 h x x 则 4 h 等于 A 2 2 B 1 2 C 1 4 D 1 8 答案 C 解析 因为 1 2 4 4h xx x 所以
14、3 2 1 4 2 h xx 3 2 11 444 24 h 故选 C 练习 1 若 cosf xxx 则函数 f x的导函数 fx等于 高二数学 2017 秋季 第 8 页 A 1 sinx B sinxx C sincosxxx D cossinxxx 答案 D 解析 cossinfxxxx 故选 D 练习 2 下列求导运算正确的是 A 1 2 2 xx x B 3 3 xx ee C 2 2 11 2xx xx D 2 cossin cos cos xxxx x x 答案 B 解析 A 选项中 22 ln2 xx A 选项错误 B 选项中 33 xx ee B 正确 C 选 项中 2 2
15、 11 2 xx xx C 选项错误 D 选项中 2 cossin coscos xxxx xx D 选项错 误 选 B 掌握函数乘积的导数 以及商的导数 注意将函数适当拆分 再利用四则运算法则 例 7 已知函数 f x的导函数为 fx 且满足 21lnf xxfx 则 1 f A e B 1 C 1 D e 答案 C 解析 1 2 1fxf x 取 1 1xf 1 练习 1 函数 21f xx 在区间 a b上的平均变化率为 答案 2 解析 函数 21f xx 在区间 a b上的平均变化率为 2121 2 ba ba 练习 2 若 f x x3 f x0 3 则 x0的值为 答案 0 1x 高二数学 2017 秋季 第 9 页 解析 2 3fxx 2 000 33 1fxxx 熟练掌握函数的求导法则 以及导函数的几何意义 分清函数中变量与常量 1 平均变化率的意义是学习导数的基础 2 常见函数的导数运算以及导数公式 3 熟练掌握导数的四则运算法则 4 通过函数的导数求函数在某点处的切线方程
