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1、第2讲 单调性、极值与导数1.导数与单调性的关系;2.利用导数求函数的单调区间;3.利用导数求函数的极值与最值.1.利用导数分析函数的单调性.2.利用导数分析函数的极值与最值.3.利用导数研究函数的其他各种几何性质.利用导数分析函数的单调性1.函数的单调性可简单的认为是：说明函数的变化率可以反映函数的单调性，即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.2.设函数yf(x)在区间(a，b)内可导,则导函数与函数的单调性有如下的关系.(1)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间内单调递增(2)如果在区间(a，b)内，f (x)0时,函数单调递增，则由导函数y= 的图象可知： 先单调
2、递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧，排除B，故选D.求函数f(x)的单调增区间，就是求使得导函数大于零的解集；求函数f(x)的单调减区间，就是求解导函数小于零的解集.例2. 已知f(x)=4xax2x3(xR)在区间1,1上是增函数,则实数a的取值范围是_.【答案】1a1【解析】f(x)=42ax2x2.f(x)在1,1上是增函数,f(x)0对x1,1恒成立,即x2ax20对x1,1恒成立.设(x)=x2ax2,则式等价于解得1a1.对x1,1,只有当a=1时,f(1)=0,以及当a=1时,f(1)=0,实数a的范围为1a1
3、.练习1. 若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1，+）上为增函数，则实数a的取值范围是A. 2，+） B. （2，+） C. （-，2 D. （-，2）【答案】C【解析】若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1，+）上为增函数，则在（1，+）上恒成立，化简得，当， ，只需，故选C.练习2. 讨论的单调性。【答案】当时，函数单调递减，当时，函数单调递增。【解析】，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增。若函数含有参数，已知单调性其实就是已知导函数的符号，从而将问题转化为一个恒成立问题.极值与最值1. 设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，则是函数的
4、一个极大值，记作；（极小值略）。极大值与极小值统称为极值。使函数取得极值的点的横坐标称为极值点。2.（1）极值点导数必为零，但导数为零的点不一定是极值点（2）在定义域内，可能有多个极大值和极小值（3）极大值与极小值没有必然的大小关系，极大值可能比极小值小（4）极值不可能在区间端点处（5）极值可能是最值，也可能不是最值3.在区间 上求函数 的最大值与最小值的步骤：（1）求函数 在内的导数； （2）求函数 在内的极值；（3）将函数在内的各极值与端点处的函数值作比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.例3. 函数f(x)=x33x27的极大值是_.【答案】7【解析】f(x)=3x26x.
5、令f(x)=0,得x=0或x=2.f(0)=7,f(2)=233227=3，当x=0时,f(x)极大值=7.取得极值32,即a(2)2=32.解得a=27.练习1. 函数，则（ ）A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点 D. 为函数的极小值点【答案】A【解析】，当时， ，当时， ，函数递增，当时， ，函数递减，所以当时， 取得极大值，则为函数的极大值点，故选择A.练习2. 已知函数y=ax315x236x24在x=3处有极值,则函数的递减区间为A.(,1),(5,)B.(1,5)C.(2,3)D.(,2),(3,)【答案】C【解析】y=3ax230x36.函数在x
6、=3处有极值,y|x=3=27a9036=0.a=2.y=2x315x236x24,y=6x230x36.令y0,即x25x60,解得2x3.函数的递减区间为(2,3),故选C.练习3. 若函数有极大值和极小值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，若函数有极大值和极小值，则，解得，故选择C.设在可导，（1）如果,有；而，有，则在处取得极大值， 为其极大值点；（2）如果,有；而，有，则在处取得极大值， 为其极小值点.例4. 函数在区间上的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】得而端点的函数值，得.练习1函数=(1)在0,1上的最大值为_.【答案】【解析】=13=0得=可知
7、当=时函数值为最大值，最大值是.练习2设与是函数的两个极值点.（1）试确定常数和的值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由题意可知： ， （2） ，通过导函数的符号决定函数的单调性，从而由单调区间来研究函数的极值与最值.例5. 已知实数a0,函数f(x)=ax(x2)2(xR)有极大值32,则实数a等于_.【答案】27【解析】本题考查函数的极值.可导函数极值点处的导数为0.f(x)=ax(x24x4)=ax34ax24ax,f(x)=3ax28ax4a=a(3x28x4)=a(3x2)(x2).令f(x)=0,得x1=或x2=2.在x1=或x2=2处取得极值.把x
8、=2代入验证,极值为0,因此函数在x=处.练习1. 若a0，b0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则ab的最大值为_.【答案】9【解析】导函数，在x=1处有极值，a+b=6，a0，b0，当且仅当a=b=3时取等号，ab的最大值等于9.故答案为：9练习2. 已知函数，当时取得极大值，当时取得极小值，求极小值及其对应的的值。【答案】,函数的极小值为【解析】，当和时函数取得极值，和是的两根，即，解得，当时函数取得极大值，解得，此时函数的极小值为。含有参数的函数，一般需要分类讨论的思想与方法研究导函数，进一步研究函数的极值与最值.分离变量1.含参函数的单调性问题，转化为含参函数
9、导函数的符号问题，若参函数的单调增，则导函数大于零恒成立；若参函数的单调减，则导函数小于零恒成立；含参函数的最值问题，转化成含参函数的单调性问题，最值整理变形，通过分离变量求解恒成立或者有解问题.2. 所谓分离变量法就是将参变量分离出来如求参变量取值范围，先分离出参变量，再应用恒成立则；或恒成立，则，最后转化为求的最值。例6. 若f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_【答案】1，)【解析】，。在区间上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，又当时，。即k的取值范围是。答案： 。练习1. 若函数fx=mx2-lnx-1x在1,+上单调递增，则实数m的取值范围为_【答案】227,
10、+【解析】f(x)=2mx-1x+1x20在1,+上恒成立，所以m12(-1x3+1x2)最大值令y=12(-1x3+1x2)，则y=12(3x4-2x3)=0x=32，当x=32时ymax=227m227练习2已知函数在上单调递增,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, , ,故填.含参函数已知单调性，就是已知导函数的符号，从而转化为恒成立问题.之后利用分离变量的思想解决恒成立问题.例7. 已知函数fx=x2-alnx+4aR存在两个极值点x1,x2，且x1-4，fx存在两个极值点x1,x2
11、，关于x的方程2x-ax+4=0，即2x2+8x-a=0在-4,+内有2个不等实根.令sx=2x2+8xx-4，tx=a，则sx与tx的图象有两个不同的交点，结合图象可得a-8,0.练习1. 设函数如果在上恒成立，求实数的取值范围【答案】【解析】 由题可得恒成立，当时，上式恒成立；当时， ，又，故令，则， 令， 当时， ， 时， ，解得： ，的取值范围是练习2. 已知函数的图象在处的切线方程为，其中是自然对数的底数.若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；【答案】（1）. 【解析】由题得， ，函数在处的切线方程为，.依题意， 对任意的都成立，即对任意的都成立，从而.又不等式整理可得， .令， .令，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.综上所述，实数的取值范围为.含参函数的最值问题，需要以分类讨论的思想方法，研究函数的单调性，根据单调性，分析函数的最值情况.最后利用分离变量解决最值方面的恒成立问题.1.函数单调性与导函数的符号密切相关2.根据导函数的符号，决定单调性，再根据单调性，决定函数的极值与最值.3.含参函数的单调性需要转化成恒成立问题来解决.4.恒成立问题，主要的解决方式是分离变量.
