《教培机构高中数学讲义][选修2-1 第5讲 双曲线及其方程]情景导入.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][选修2-1 第5讲 双曲线及其方程]情景导入.docx（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5讲 双曲线及其方程(第一种方式)圆锥曲线的研究历史几何学里的圆锥曲线在公元前3世纪前后，最著名的希腊三大学者欧几里德（Euclid 前330 ？-前275年）、阿基米德（Archimedes 前287？-前212年）和阿波罗尼斯(Apollonius 前262-前200年)都研究了圆锥曲线。欧几里德除了总结历史上几何学发展的成果，把几何学条理化、系统化写成巨著几何原本一书外，还著有圆锥曲线论等书（可惜失传了）。欧几里德在几何原本中给出了圆锥曲线统一定义，即平面内一点F和一定直线AB，从平面内动点M向AB引垂线，垂足为C，若MF：MC值一定，则动点轨迹为圆锥曲线，但他未证明。阿基米德则成功计
2、算了抛物线弓形的面积，发明了用同心辅助圆画椭圆的方法，还提出了圆锥曲线的直径的概念。阿波罗尼斯著书圆锥曲线共八卷，有487个命题（其中第八卷失传）。该书全面讨论了圆锥曲线的性质，并包含了坐标和曲线方程的思想，但都是用几何方法。他推广了梅内克缪斯用平面垂直三种顶角（锐角、直角、钝角）圆锥的母线而得圆锥曲线的方法，从同一个圆锥中，改变截面对于圆锥轴的倾角的方法，就能截出三种圆锥曲线。他同时并用两对顶圆锥，从而发现了双曲线有两支。他研究了圆锥曲线的直径和轴，研究了双曲线的渐近线。他最先发现椭圆、双曲线有焦点，发现椭圆、双曲线上任一点处切线性质（“光学特性”），但未发现抛物线的“光学特性”。公元340
3、年，希腊学者帕普斯（Pappus 约290-350年）著希腊数学集成，他首次发现抛物线有焦点和圆锥曲线有准线。他第一个用焦点和准线来定义圆锥曲线：圆锥曲线是一动点到一定点和到一定直线距离的比是常数的轨迹，并加以证明，说明MF:MC值小于1时，M点轨迹为椭圆，等于1时为抛物线，大于1时为双曲线。他还提出了圆锥曲线的离心率。上述对圆锥曲线的研究用的都是纯粹几何的方法，其构造、推演、论证的技巧与方法实在令人折服。3客观现实中的圆锥曲线到公元4世纪和5世纪时，延续一千多年之久的奴隶制度开始崩溃，在长期战争和外族侵略摧残中，古代文化遭到极大破坏。在此后直至公元15世纪的一长段令人窒息的中世纪时期中，在新
4、兴的封建国家里，取代古代朴素唯物主义和文化科学的是宗教的神学思想。在这一段长夜漫漫的黑暗年代，关于数学圆锥曲线。(第二种方式)圆锥曲线的应用1用以刻画客观世界中物质的运动宏观方面，天体运行的轨迹包含了三种圆锥曲线；微观方面，卢瑟福散射中的 粒子沿双曲线运动；玻尔的“电子在核外绕核作圆周运动”的量子化轨道也被推广到椭圆轨道。现实生活中，我们知道，斜抛射物体在仅受地球引力作用、不计空气阻力下的运动轨迹是抛物线，而简谐振动与液体流动中也都含有圆锥曲线。2“光学特性”在科技上的应用抛物线、椭圆、双曲线各有其所谓“光学特性”，这些“光学特性”被应用于光学、声学、热学、电子学的各个领域而大放异彩。如光学中
5、灯具与望远镜的设计；声学中的音乐台的抛物面屏墙，椭圆听音实验；电子学中的冲击波排石及激光消痣椭圆；在微波通讯、聚热、发电（如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站等）也都用到了圆锥曲线尤其是抛物线的“光学特性”。3在建筑、生产用品制造上的应用圆锥曲线在许多大型拱形、薄壳建筑上，在大量生产、生活用品制造上，亦有许多出众表现。如诸多著名桥梁的抛物线型设计，薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶，热电站的双曲面冷淋塔。同样，抛物线、椭圆、双曲线也广泛存在于人们日常生活用品和生产用具上，这些妙用是由其特殊的形状和内在特性决定的。4曲线定义在技术上的应用人对声源的确定与双耳效应有关。根据双耳时差，可以确定声音必定在以双耳为焦
6、点的一条双曲线上。同样，若有三个固定的点，某一位置就可以根据接来自三点信号的时间差确定两条双曲线，这两条双曲线的交点就是其确定的位置。这就是“双曲线时差定位法”的基本原理。著名的“罗兰导航系统”、“全球卫星定位导航系统”等其原理也是一样的。三给我们的一点启示当圆锥曲线圆锥曲面上神奇地仿佛是无中生有地产生时，梅内克缪斯可能没有想到，圆锥曲线在现实世界还有如此多样的存在方式；当古希腊的那些学者们在研究圆锥曲线的性质时，他们也不会想到，这些性质竟有如此丰富多彩的出神入化的应用。他们当初的研究就是针对数学而言，没有也不会想到太多；也正是数学本身的魅力吸引了他们，让如痴如醉地研究数学。不错，数学来源与生
7、活又服务于生活，数学是有用的。但有用的标准是什么？当初陈景润研究哥德巴赫猜想用到的理论和方法让很多研究数学的人也感到难以理解，高处不胜寒，但现在却成了密码学的一个重要依据（杨乐语）；而数学中的二进制，常常让人觉得麻烦和不习惯，仿佛一种纯数学的毫无用处的游戏规则，但我们现在都知道，电脑设计中离开它是一个无法想象的事。数学是有用的，但作为一种新的数学知识，我们往往暂时看不到它的用处，因为数学本身的一个特征就是它常常是领先于其他自然科学或社会科学的。它有其自身的发展动力与轨迹，如问题的产生，内部的矛盾，和谐与统一的追求，方法的选择与革新等。所以我们在强调“数学有用”的同时，不能过分地被“有用”的标准所牵制。
