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1、 演练方阵第6讲 抛物线及其方程抛物线及其定义类型一:抛物线定义的简单应用 考点说明：充分理解定义是解题的关键，一般考察客观题【易】1.（2011秋成都期末）动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=1的距离相等，则点的P轨迹方程为【答案】y2=4x【解析】在平面直角坐标系xOy中，到点（1，0）和直线x=1距离相等的动点的轨迹是以点（1，0）为焦点，以直线x=1为准线的抛物线，p=2，故抛物线方程为y2=4x【易】2.动点P到定点A（0，2）的距离比到定直线l：y=10的距离小8，则动点P的轨迹为【答案】抛物线【解析】 将直线l：y=10沿y轴向下平移8个单位，得到直线l：y=2，则动点P到
2、A（0，2）的距离等于到定直线l：y=2的距离，故点P的轨迹为抛物线【易】3.（2014秋三元区校级月考）设动点C到点M（0，3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动点C的轨迹是（）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆【答案】故选：A【解析】点P到直线y=3的距离与它到点（0，3）的距离相等，点P的轨迹是以F为焦点、直线l：y=3为准线的抛物线.【易】4.动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线【答案】D【解析】由题意分析可知，动点P到直线x+2=0与到M（2，0）的距离相等由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线【中】5
3、.（2016秋运城期末）正方体ABCDA1B1C1D1 中，M为侧面ABB1A1所在平面上的一个动点，且M到平面ADD1A1的距离与M到直线BC距离相等，则动点M的轨迹为（）A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线【答案】D【解析】BC平面ABB1A1，|MB|表示M 到直线BC 距离相等平面ADD1A1平面ABB1A1，M 到平面ADD1A1 的距离等于M到AA1的距离M 到平面ADD1A1 的距离与M 到直线BC 距离相等，|MB|等于M到AA1的距离,根据抛物线的定义，可知动点M 的轨迹为抛物线.【难】6.（2016秋南阳期末）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上
4、的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（）A圆 B抛物线 C双曲线 D直线【答案】B【解析】如图所示：正方体ABCDA1B1C1D1中，作PQAD，Q为垂足，则PQ面ADD1A1，过点Q作QRD1A1，则D1A1面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得 PR2PQ2=RQ2=4又已知 PR2PM2=4，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，【难】7（2014东海县校级模拟）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线xy+4=0的垂线，垂足分别为A
5、，B，则PA+PB的最小值为_【答案】【解析】设P（，y），则 PB=+2，PA+PB=+2=+2，故当 y=22 时，PA+PB 有最小值等于 类型二:理解定义求最值考点说明：定义结合最值，一般考察客观题【易】1.（2007秋北碚区校级期末）已知F为抛物线y2=3x的焦点，P为抛物线上任一点，A（3，2）为平面上一定点，则|PF|+|PA|的最小值为【答案】【解析】因为A在抛物线内部，作PQ垂直于准线，垂足为Q，利用抛物线的定义可知：PQ=PF所以PF+PA=PQ+PA当A，P，Q三点共线的时候最小，最小值是A到准线x=的距离d=3+=故答案为：【易】2.（2009秋海安县期末）已知点M到点
6、F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，点A的坐标为（2，3），则 MA+MF的最小值为【答案】6【解析】点M到点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1点F（4，0）的距离比它到直线l：x+4=0的距离相等，根据抛物线的定义知曲线是一条抛物线，点M的轨迹的方程是y=16x2，点A的坐标为（2，3），MA+MF的最小值为过A向x=4所做的垂线段的长度2（4）=6故答案为：6【中】3.已知A（2，2），点M在抛物线y2=4x上，F是抛物线的焦点，求MA+MF的最小值_【答案】3【解析】 抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线方程为x=1设P是抛物线上任意一点，l是抛
7、物线的准线，过P作PP1 L，垂足为P1，过A作AA1l，垂足为A1，且交抛物线于点M，|PA|+|PF|=|PA|+|PP1|AA1|=|MA|+|MA1|=|MF|+|MA|=3，即M点为所求把y=2代入y2=4x中，解得x=1，故M（1，2）此时MA+MF的最小值为3【中】4.（2016秋邢台月考）已知抛物线C：y2=kx（k0）的焦点为F，点N为抛物线上的动点，点M(1,)不在抛物线上,若k=4，求|MN|+|NF|的最小值【答案】2【解析】（1）当k=4时，点M在抛物线C的内部，过N作抛物线C的准线的垂线，垂足为A，则|AN|=|NF|MN|+|NF|=|MN|+|AN|，当A，N，
8、M三点共线时，|MN|+|AN|取最小值2，即|MN|+|NF|的最小值为2【中】5.（2013芜湖二模）P为抛物线y2=4x上一动点，则点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和的最小值等于【答案】【解析】y2=4x的准线是x=1抛物线的焦点坐标为（1，0）由于A在抛物线的外部，所以连接焦点F和点A，AF与抛物线的交点P，即为所求点，P到x=1的距离等于P到焦点F的距离，点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和为P到焦点F的距离和到点A（2，3）距离之和减1，当且仅当A，P，F三点共线时，点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和最小点P到y轴距离和到点A（2，3）距离之和的最小值为|AF|1=
9、【难】6.（2013春邗江区校级期中）点A（4，2），F为y2=8x的焦点，点M在抛物线上移动，当MA+MF取最小值时，点M的坐标是【答案】（，2）【解析】由抛物线方程可知，2p=8，抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=2，设M在抛物线准线方程上射影为M，点M到准线的距离与M到焦点距离相等，|MA|+|MF|=|MA|+|MM|，当x=4，代入抛物线方程求得y=4，AD点抛物线的内部，当M，M，A三点共线时，|MA|+|MM|的值最小，此时|MA|+|MM|=|AM|=6此时M的纵坐标为2，x=，即M的坐标为（，2）【难】7（2016秋信州区校级期末）已知点P是抛物线y2=4x上一点，设点
10、P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x+2y12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是_【答案】【解析】点P到抛物线y2=4x的准线的距离为d1等于P到抛物线y2=4x的焦点的距离|PF|，则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y12=0的距离由抛物线y2=4x得F（1，0），d1+d2的最小值是【难】8（2016咸阳模拟）已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为A(,4)，则|PA|+|PM|的最小值是_【答案】【解析】依题意可知焦点F（ ，0），准线 x=，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，|PM|=|PH|=|PF|PM|+|
11、PA|=|PF|+|PA|，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|，当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5则所求为|PM|+|PA|=5=抛物线标准方程类型一:标准方程的求取考点说明：熟悉标准方程 【易】1.（2011湖南模拟）设抛物线y2=4x上一点P到直线x=3的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A3 B4 C6 D8【答案】A【解析】抛物线y2=4x的准线为x=1，点P到直线x=3的距离为5，点p到准线x=1的距离是52=3，根据抛物线的定义可知，点P
12、到该抛物线焦点的距离是3【易】2.（2016秋昌江区校级期末）抛物线x=4y2的准线方程是（）Ay = By=1 Cx= Dx=【答案】C【解析】2p=，p=，开口向右，准线方程是x=【易】3.（2013秋福建月考）已知动圆P与定圆C：（x2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）Ay2=4x By2=4x Cy2=8x Dy2=8x【答案】C【解析】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PAd=1，即（x+1）=1，化简得：y
13、2=8x【易】4.（2012秋青铜峡市校级月考）已知抛物线C以F（0，1）为焦点，x轴为准线，则此抛物线的方程是【答案】x2=2y1【解析】设P（x，y）为所求抛物线上的任意一点，设点P到x轴的距离为d，由抛物线的定义则PF=d，故可得，平方化简可得x2=2y1【中】5.（2015安庆三模）抛物线y=ax2（a0）的准线方程是（）Ay= By= Cy= Dy=【答案】故选B【解析】抛物线y=ax2（a0）可化为x2 = y，准线方程为y=【中】6（2012秋西安期末）抛物线y=x2的焦点坐标为（）A(,0) B(0,) C(,0) D(0,)【答案】故选：D【解析】抛物线y=的标准方程为x2=my，若m0，则抛物线开口向上，焦点坐标为（0，）若m0，则抛物线开口向下，焦点坐标为（0，），即（0，）m0时，抛物线y=的焦点坐标为为(0,)【中】7.（2016南开区模拟）过点（1，2）的抛物线的标准方程是（）Ay2=4x或x2=y By2=4xCy2=4x或x2=y Dx2=y【答案】C【解析】设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点（1，2）代入可得a=4，故抛物线的标准方程为y2=4x设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点（1，2）代入
