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1、演练方阵第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线位置关系类型一 直线与圆锥曲线位置关系判断考点说明：位置判断是基本考点【易】1、已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【解析】由于直线恒过过椭圆内部一点，所以直线与椭圆相交，故选择A.【易】2、已知直线，抛物线，则直线与抛物线的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D不能确定【答案】B【解析】把直线代入抛物线方程，得，由于，所以直线与椭圆相切，故选择B.【易】3、（2015河北定州中学月考2006福建高考）已知直线与抛物线相切，则 【答案】【解析】把直线代入抛物线方程，得，当时，方程仅有一解，但不
2、是抛物线，不符合题意，由于，解得.【中】4、（2016秋福建期末）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）A无数多条 B3条 C2条 D1条【答案】B【解析】抛物线的焦点为，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，它与抛物线只有一个公共点；当过点的直线斜率等于零时，直线方程为，它与抛物线只有一个公共点；当过点的直线斜率存在且不等于零时，设直线方程为，代入抛物线方程可得，由，可得，此时直线方程为. 综上满足条件直线有3条，选择B.【中】5、（2015河北定州中学月考）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系不可能的是（ ）A相交 B相切 C相离 D以上情况都有可能【答案】C【解析】由于直线恒过过椭圆
3、上一点，所以直线与椭圆不可能相离，选择C【中】6、已知直线与椭圆的位置关系是（ ）A相交 B相切 C相离 D不能确定【答案】A【解析】由于直线恒过定点，又点在椭圆内，所以直线与椭圆相交，选择A【难】7、（2016安徽皖南八校联考）若直线与圆没有公共点，设点的坐标为，则过点的一条直线与椭圆的公共点个数为（ ）A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】由，得，由，得又不同时为零，所以，所以，由椭圆方程知其长半轴长为2，短半轴长为，所以可知点在椭圆内部，所以过点的一条直线与椭圆的公共点个数为2，故选C.【难】8、（2016永昌县级期末）直线与曲线（ ）A没有交点 B只有一个交点 C有两个交点 D有三个
4、交点【答案】D【解析】(1)当时，可转化为，直线代入曲线方程得，解得，此时直线与曲线有两个交点；(2) 当时，可转化为，直线代入曲线方程得，解得，此时直线与曲线有一个交点，综上可得，此时直线与曲线有三个交点，选D.类型二 直线与圆锥曲线位置关系综合问题考点说明：位置关系问题是常考考点【易】1、已知直线与椭圆相切，则的取值情况为（ ）A0BCD【答案】A【解析】由图象可知，当时，直线与椭圆相切，选择A【易】2、若无论取何值时，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为直线过点，因为当时，所以，所以，选择B.【易】3、设抛物线的准线与轴交于点.过点的直线与抛物
5、线有且只有一个公共点，则直线的斜率是 【答案】0或1或【解析】由题意得，设直线的方程为，代入抛物线方程得，当时，直线与抛物线只有一个交点；当时，由，解得；综上，或 或.【中】4、若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则的取值范围是_【答案】【解析】将代入，化简得，双曲线的渐近线的斜率为，过定点，数形结合即可得【中】5、（2016河南中原名校联考）已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为直线与圆相切，所以，把直线的方程代入抛物线的方程，并整理得：，由，解得【中】6、（2015河南焦作二模）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A1条
6、 B2条 C3条 D4条【答案】C【解析】(1)当过点的直线斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，符合题意 (2) 当过点的直线斜率存在时，设其方程为，由，得，当时，方程只有一个解，符合题意；当时，由，解得，即直线与抛物线相切，综上符合条件的直线有3条，选择C.【中】7、（2014辽宁卷）已知点在抛物线的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）A B C D【答案】D【解析】易知，直线的斜率存在，抛物线方程为，与直线方程联立，得，由题意知，解得. 因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去，故，可得，又，故，选择D.【中】8、若直线与双曲线有且只有一个公共点，求的
7、的值【答案】或【解析】将直线与双曲线，化简整理得 （*）若，则，此时（*）为一次方程有解，说明直线与双曲线有且只有一个公共点，此时，直线与渐近线平行若则，（*）为关于的二次方程，要使直线 与双曲线有且只有一个公共点，只需，解得或，此时直线与双曲线相切因此，或【难】9、已知顶点在原点的抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于，两点. 若为的中点，则抛物线的方程为 【答案】【解析】设抛物线方程为，则两式相减得，则，所以，解得，所以抛物线的方程为.【难】10、（2016河北衡水二中模拟）已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则=（ ）A4 B
8、3 C2 D1【答案】A【解析】由抛物线，可知其焦点为，所以，又，因此双曲线方程为，渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线平行，不妨设，由，得，则由，解得，选择A.直线与圆锥曲线相交常见问题考点说明：直线与圆锥曲线相交常见问题是常考考点类型一 弦长面积问题【易】1、（2014秋宿州期末）抛物线被直线截得弦长的值为（ ）A21 B16 C24 D30【答案】C【解析】设直线与抛物线两个交点，,由，得，所以弦长等于，选择C.【易】2、（2016秋南涧县期末）已知直线与椭圆相交于两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段长是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意知，所以，则，所以椭圆方程为，联立
9、，得，解得，进而得到，所以，选择B.【易】3、直线与双曲线相交于两点、，则=_【答案】【解析】联立，消去得：，设，则，【易】4、过双曲线的右焦点直线交双曲线于、两点，若，则这样的直线有_条【答案】【解析】垂直于轴的弦所在的直线，另两条大致如图所示【易】5、（2016乐山模拟）抛物线的焦点为，经过的直线与抛物线在轴上方部分相交于点，与准线交于点，且，如果，那么的面积是（ ）A B C D【答案】C【解析】抛物线的焦点为，准线为，由抛物线定义可知，由直角三角形的斜边上中线等于斜边的一半，可得，即有为正三角形，由到的距离，则，所以，选择C.【中】6、（2015秋石家庄期末）已知椭圆与直线交于两点，且
10、，则实数的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意设，联立，得，由弦长公式可知，解得，选A.【中】7、（2015秋福山区校级期末）如图，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，若两点，则此抛物线方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】过点向准线作垂线，垂足分别为，过点向作垂线，垂足为.因为在抛物线上，所以，因为，所以，因为直线的倾斜角为，所以在中，所以可得，因为，所以，所以，设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，所以，解得，所以抛物线的方程为，选择A.【中】8、（2016沈阳二中模拟）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，则弦长 【答案】【解析】由题意知，椭
11、圆的右焦点，直线的方程为由，得，设，则，由弦长公式可得【难】9、（2017大武口区校级四模）已知椭圆，离心率为，两焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8(1)求椭圆的方程；(2)过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值【答案】(1)； (2)【解析】(1)由题意：，所以，所以，所以椭圆的方程为.(2)由题意知，. 当时，切线的方程，此时，；当时，同理；当时，设切线方程为，由消去，可得，设，则，又由与圆相切，得，即，得，所以，因为，所以，且当，由于时，所以的最大值为.【难】10、（2017浠水县校级模拟）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，直线过点交椭圆于两点，为坐标原点(1)求椭圆的方程
12、；(2)求面积的最大值.【答案】(1)； (2)【解析】(1)由题意：，易知，所以椭圆的方程为(2)由题意设切线的方程，联立直线与椭圆的方程，消去，可得，设，则，设，则，因为，所以，所以当时，的面积取得最大值，此时.类型二 垂直平分问题考点说明：垂直平分是常考考点【易】1、（2016江西模拟）已知直线与抛物线交于两点，点，若，则=（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意联立，得，得到，由于，若，可得，化简，解得，选择B.【中】2、（2016河南模拟）已知直线与抛物线交于两点，点满足，则=（ ）A B C D 【答案】D【解析】由题意可得焦点，直线过抛物线的焦点，代入抛物线方程，得到，设，则，由于，可得：，所以整理得，解得，所以，所以，选择D.【中】3、（2016春福州其中）如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A B C D 【答案】B【解析】设直线与椭圆交，由中点坐标公式知，把，代入椭圆方程，得两式相减并整理得：，所以，所以这条弦所在的直线方程为，即，选择B.【中】4、（2016秋西陵区校级期末）已知直线与双曲线线交于两点，若线段中点为，则直线的斜率为（ ）A B C D【答案】C【解析】设，因为在双曲线上，所以，两式相
