《教培机构高中数学讲义][衔接课 第4讲 三角形与四边形]讲义教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][衔接课 第4讲 三角形与四边形]讲义教师版.docx（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲 三角形与四边形1.衔接初中知识，深层次理解三角形和四边形的知识点；2.分班考试中，能够快速应对三角形和四边形的难题；3.学会迭代的数学思想；1.梅涅劳斯定理是相似的综合运用，是高中几何的铺垫性知识；2.塞瓦定理是梅尼劳斯定理的进一步应用；3.三角形的五心是高中解析几何的铺垫；梅涅劳斯定理一、梅涅劳斯定理1.梅涅劳斯定理 如果一条直线与的三边、或其延长线交于、点，那么这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形证明：如图1-1，若一直线与的三边、或其延长线交于、点求证： 证法一：如图1-2，过作，证法二：如图1-3，过作交的延长线于，三式相乘即得： 2.梅涅劳斯定理的逆定理 若、分别是的三边、或其延
2、长线的三点，如果 ，则、三点共线例1.如图，直线，则是 （ ）A5：2 B4：1 C2：1 D3：2 【答案】【解析】截的三边、或其延长线于、三点，即，练习1.若中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。【答案】因为在EBC中，作B的平分线BH，则：EBC=ACK，HBC=ACE，HBC+HCB=ACK+HCB=90，即BHCE，所以EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDAAEEKKFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根据分比定理有：KFK
3、C=BKKE，所以FKBCKE，所以BFCE。【解析】梅涅劳斯定理的应用练习2.如图，中，交于求 【答案】过作交于，交于，如图可得：，且直线是的梅氏线，【解析】直线是的梅氏线.例2.已知中，为中线，过点任作一直线交于，交于，如图，求证：.【答案】直线FEC是的梅氏线， 而，即 【解析】注意观察梅氏线.练习1.如图，中，为中点，求证：【答案】直线是的梅氏线，直线是的梅氏线，【解析】直线是的梅氏线练习2.如图，平行四边形的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接，交于点 若，求的长【答案】截的三边、或其延长线于、三点在平行四边形中，即，即，【解析】梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理: 若、
4、分别是的三边、或其延长线的三点，如果 ，则、三点共线塞瓦定理二、塞瓦定理1.塞瓦定理 如果的三个顶点与一点的连线、交对边或其延长线于、，如图1-4，那么通常称点为的塞瓦点证明：直线、分别是、的梅氏线， ，两式相乘即可得：2.塞瓦定理的逆定理 如果点、分别在的边、上或其延长线上，并且，那么、相交于一点（或平行）证明：（1）若与相交于一点时，如图1-5，作直线交于由塞瓦定理得：，又已知，与重合与重合、相交于一点 （2）若与所在直线不相交，则，如图1-6，又已知，即，例1.如图，、分别为的、边上的点，且，、交于，的延长线交于求的值【答案】为的塞瓦点，为的梅氏线，【解析】为的塞瓦点练习1.在梯形中，、
5、交于，、的延长线交于，过作交于，交于，求证：、三线共点【答案】设直线交于，由已知可得，由为的塞瓦点可得：同理可得：，、三线共点【解析】塞瓦定理的应用塞瓦定理 :如果的三个顶点与一点的连线、交对边或其延长线于、，如图1-4，那么通常称点为的塞瓦点例2.设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，证明：【答案】过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证EDA=FDA，可以转化为证明AM=AN，因为ADBC，故MNBC，可得AMECDE，ANFBDF，所以AMCD=AECE，ANBD=AFBF，于是AM=AECDCE，AN=AFBDBF，因为AD、BE、CF共点与P，根据塞瓦
6、定理可得：BDDCCEEAAFFB=1，所以AECDCE=AFBDBF，所以AM=AN，所以EDA=FDA【答案】塞瓦定理的逆定理【解析】练习1.已知：、为的高。（1）求证：直线、三线共点（2）若上述一点叫，当点在线段内上下移动时，过点的线段、也随之运动.求证：上述运动过程中与总相等【答案】（1）由，得，同理，三式相乘得，、三高所在直线共点 （2）如图，过作交、延长线于、是的塞瓦点，=【解析】塞瓦定理的应用塞瓦定理的逆定理 :如果点、分别在的边、上或其延长线上，并且，那么、相交于一点（或平行）三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予
7、介绍三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径内切圆半径r的计算：设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=特别的，在直角三角形中,有 r=(a+bc) 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的
8、重心上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1 24、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组”5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)每个三角形都有三个旁切圆例5.证明重心定理。 【答案】 证法1：如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然EFBC，由三角形相似可得GB2GE，GC=2GF 又设AD、BE交于G，同理可证GB=2GE，GA=2GD，
9、即G、G都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G、G重合 即三条中线AD、BE、CF相交于一点G 证法2： 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I连EF、FH、HI、IE，因为EFBC，HIBC， 所以 EFHI为平行四边形 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点即定理证毕【解析】这个是高中解析几何的知识前铺垫模块练习1.设G为ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和GBC的面积相等【答案】1证明 如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以AMG的面积=GBM的面积，GAN的面积=GNC的面
10、积, 即四边形GMAN和GBC的面积相等【解析】中线的性质的基本应用三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如： （1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心例6.三角形的任一顶点到垂
11、心的距离，等于外心到对边的距离的二倍【答案】证明 如图，O为ABC的外心，H为垂心，连CO交ABC外接圆于D，连DA、DB，则DAAC，BDBC，又AHBC，BHAC所以DABH，BDAH，从而四边形DAHB为平行四边形。又显然DB=2OM，所以AH=2OM 同理可证 BH=2ON，CH=2OK证毕【解析】垂心的重点难点题型.练习1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.【答案】证明 如图，连AO并延长交BC于D.O为三角形的内心，故AD平分，图3.2-7（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.，即.同理可得，AB=BC.为等边三角形.【解析】三
12、角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如： （1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）三角形的外心到三顶点的距离相等； （3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （4）三角形的内心、旁心到三边距离相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心
