《教培机构高中数学讲义][必修四 第1讲 三角函数的概念]讲义学生版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教培机构高中数学讲义][必修四 第1讲 三角函数的概念]讲义学生版.pdf（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学 2017 秋季 第 1页 第 1 讲三角函数的概念 1 理解任意角与象限角的概念 2 理解弧度制的意义 掌握角度制和弧度制的互化 会利用弧度制解决具体问题 3 掌握任意角三角函数的定义 包括三角函数值在各象限内的符号 4 牢记特殊角的三角函数值 5 掌握三角函数线的概念 6 掌握同角三角函数基本关系式 7 理解并掌握诱导公式的内含及结构特征 1 正角 负角 象限角 终边相同的角 的含义是重点 2 任意角的三角函数定义 包括三角函数值在各象限内的符号 是重点 3 同角三角函数基本关系式是重点 4 诱导公式的推导和应用是重点 5 正弦 余弦 正切线的应用是难点 6 如何应用三角函数基本关
2、系式对三角式进行化简和证明是难点 7 相关边角的几何关系及诱导公式结构特征的认识是难点 高一数学 2017 秋季 第 2页 高一数学 2017 秋季 第 3页 任意角的概念与弧度制 一 角的概念的推广 1 角的概念 按逆时针方向旋转形成的角叫做 按顺时针方向旋转形成的角叫做 射线没有作 任何旋转时 我们也把它看成一个角 叫做 2 象限角与轴线角 使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴正半轴重合 角的终边在 第几象限就称为 若终边落在坐标轴上 认为这个角不属于任何象限角 称为 1 第一象限角的集合为 2 第二象限角的集合为 3 第三象限角的集合为 4 第四象限角的集合为 5 终边在x轴正半轴上的角
3、的集合为 6 终边在x轴负半轴上的角的集合为 7 终边在y轴正半轴上的角的集合为 8 终边在y轴负半轴上的角的集合为 9 终边在x轴上的角的集合为 10 终边在y轴上的角的集合为 11 终边在坐标轴上的角的集合为 3 终边相同的角的表示 所有与角 终边相同的角 连同 角本身组成一个集合 这个 集合可记为 1 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 2 终边相同的角有无数个 它们相差 360的整数倍 二 弧度制和弧度制与角度制的互化 1 弧度制的概念 我们把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用符号 表示 读作 用弧度作为单位来度量角的制度叫做 用角度作为单位 来度量角的制
4、度叫做 2 弧度制的性质 1 半圆所对的圆心角为 r r 整圆所对的圆心角为 2 2 r r 2 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零 高一数学 2017 秋季 第 4页 3 角 的弧度数的绝对值 3 角度与弧度的互化 1 将角度化为弧度 2360 180 rad01745 0 180 1 rad n n 180 2 将弧度化为角度 3602 180 180 1 rad 180 n radn 4 角度与弧度对应表 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 5 扇形的弧长与面积公式 1 弧长公式 因为 360的圆心角所对的弧长就是
5、圆周长r 2 所以1 的圆心角所对 的弧长是 于是可得半径为R的圆中 n 的圆心角所对的弧长为 在弧长公式中 n表示 1的圆心角的倍数 n和180都不带单位 度 在弧长公式中 已知rnl 中的任意两个量 都可以求出第三个量 2 扇形面积公式 如图所示 阴影部分的面积就是半径为r圆心角为 n的扇形面积 显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分 因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积 2 r 所以圆心角为 1 的扇形面积是 由此得圆心角为 n的扇形面积的计算公式是 又因为扇形的弧长 180 rn l 扇形面积 360 2 rn 可以写成 所以又得到扇形面 积的另一个计算公式 高一数学 2017 秋
6、季 第 5页 例 1 给出下列说法 锐角都是第一象限角 第一象限角一定不是负角 第 二象限角是钝角 小于 180 的角是钝角 直角或锐角 三角形的内角一定是第一 二 象限角 钝角不一定是第二象限角 其中正确命题的序号为 练习 1 下列说法中正确的序号是 不相等的角 终边一定不相同 第一象限角必是锐角 小于90 的角一定是锐角 钝角一定是第二象限角 练习 2 下列说法正确的是 A 终边与始边重合的角是零角 B 钟表的时针旋转而成的角是正角 C 第二象限角不一定是钝角 D 终边相等的角一定是相等角 例 2 与 457 角终边相同的角的集合是 A Zkk 457360 B Zkk 97360 C Z
7、kk 263360 D Zkk 263360 高一数学 2017 秋季 第 6页 在720 360 范围内与 1020 终边相同的角有 答案 660 300 60 解析 与 1020 终边相同的角 1020360 Zkk 练习 2 若角 与 的终边在一条直线上 则 与 的关系是 例 3 已知 是第四象限角 则 2 是 A 第二象限角 B 第一或第二象限角 C 第二或第三象限角 D 第二或第四象限角 练习 1 若 是第四象限角 则180 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 B 练习 2 已知 是第二象限角 则 3 是第 象限角 高一数学 2017 秋季 第 7页 例 4
8、 下列转化结果错误的是 A 67 30 化成弧度是3 8 rad B 12 3 化成度是600 C 150 化成弧度是5 6 rad D 12化成度是 15 练习 1 一个半径大于2的扇形 其周长c 10 面积S 6 求这个扇形的半径R和圆心角 的弧度数 练习 2 2015 山东临沂市高一期末测试 已知扇形的圆心角的弧度数为2 其弧长也是2 则 该扇形的面积为 A 1B 2C sin1D 2sin1 任意角的三角函数 1 三角函数的定义 在直角坐标系中 设 是一个任意角 终边上任意一点 P 除 了原点 的坐标是 yx 它与原点的距离为0 22 2 2 yxyxr 那么 1 比值 r y 叫做
9、的正弦 记做 sin 即 sin 2 比值 r x 叫做 的余弦 记做 cos 即 cos 高一数学 2017 秋季 第 8页 3 比值 x y 叫做 的正切 记做 tan 即 tan 4 比值 y x 叫做 的余切 记做 cot 即 cot 说明 的始边与x轴的非负半轴重合 的终边没有标明 一定是正角或负角 以及 的大小 只标明与 的终边相同的角所在的位置 根据相似三角形的知识 对于确定的角 六个比值不以点 yxP在 终边上的位 置的改变而改变大小 当Zkk 2 时 的终边在y轴上 终边上任意一点的横坐标x都等于零 所以 x y tan无意义 同理 当Zkk 时 的终边在x轴上 终边上任意一
10、点 的纵坐标y都等于零 所以 y x cot无意义 除以上两种情况外 对于确定的值 比值 r y r x x y 和 y x 分别是一个确定的实 数 所以正弦 余弦 正切和余切都是以角 为自变量 以比值为函数值的函数 2 三角函数值对应表 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270360 弧度0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin cos 高一数学 2017 秋季 第 9页 3 三角函数的定义域和值域 函数定义域值域 xysin xycos xytan 4 三角函数值的符号 由三角函数的定义以及各象限内点的坐标符号 可以得知 1 正弦值 si
11、n 对于一 二象限为 0 0 ry 对于三 四 象限为 0 0 ry 2 余弦值 cos 对于一 四象限为正 0 0 rx 对于二 三象限为 负 0 0 rx 3 正切值 tan 对于一 三象限为 tan 0 yx 对于二 三象限为 tan 0 yx 4 当终边落在轴线上 可以通过三角函数定义求值 5 三角函数线 1 单位圆 2 有向线段 坐标轴是规定了方向的直线 那么与之平行的线段亦可规定方向 规定 与坐标轴方向一致时为正 与坐标轴方向相反时为负 tan 高一数学 2017 秋季 第 10页 3 三角函数线的定义 设角 的顶点在坐标原点O 始边与x轴非负半轴重合 终边 与单位圆相交于点 yx
12、P 过点 P 做x轴的垂线 垂足为M 过点A 1 0 做单位圆的 切线 它与角 的终边或其反向延长线交于点T 由四个图可以看出 当角 的终边不在坐标轴上时 有向线段xOM yMP 于 是有 MPy y r y 1 sin OMx x r x 1 cos AT OA AT OM MP x y tan 我 们分别称有向线段MP OM AT为正弦线 余弦线和正切线 说明 三条有向线段的位置 正弦线为 的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段 余 弦线在x轴上 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上 三条有向线段中 两条在 单位圆内 一条在单位圆外 三条有向线段的方向 正弦线有垂足指向 的终边与单位圆
13、的交点 余弦线由原点 指向垂足 正切线由切点指向与 的终边的交点 三条有向线段的正负 三条有向线段与x轴或y轴同向的为正 反向的为负 三条有向线段的书写 有向线段的起点字母在前 终点字母在后 6 同角三角函数的基本关系 1 商数关系 2 平方关系 高一数学 2017 秋季 第 11页 例 1 已知角 的终边经过点 3 2 P 分别求出角 的正弦值 余弦值 正切值和 余切值 练习 1 已知 3 xP是角 终边上一点 且 5 4 cos 则x的值为 A 5B 5C 4D 4 练习 2 已知角 的终边经过点 03 4 mmmP 则 cossin2 的值是 A 11 或B 5 2 5 2 或C 5 2
14、 1 或D 5 2 1或 高一数学 2017 秋季 第 12页 例 2 已知角 的终边经过点 2 93 aaP 且0cos 0sin 则a的 取值范围是 练习 1 若0sintan0cossin 且 则 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 练习 2 已知角 是第三象限角且0 2 cos 则 2 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 例 3 已知 2 3 sin x 求x的取值范围 高一数学 2017 秋季 第 13页 练习 1 已知0cos22 x 求x的取值范围 练习 2 已知 2 3 cos 2 1 x 求x的取值范围 高一数学 2017
15、秋季 第 14页 例 4 已知 3 1 sin 且 2 则 tan 练习 1 若 5 3 cos 且 2 3 则 tan 练习 2 已知2tan 且 2 2 3 则 cos2sin 例 5 已知1 1tan tan 求下列各式的值 1 cossin cos3sin 2 cos3sin 2 2 高一数学 2017 秋季 第 15页 练习 1 已知 2 1 tan 则 cossin cossin A 3B 3 1 C 3D 3 1 练习 2 已知2tan 则 1sincossin3 2 A 3B 4C 3D 4 例 6 证明 cossin1 sin cos2 cos1 sin sin1 cos 高
16、一数学 2017 秋季 第 16页 练习 1 已知1tan2tan 22 求证 1sin2sin 22 练习 2 证明 x x x x cos sin1 sin1 cos 高一数学 2017 秋季 第 17页 任意角的三角函数 1 诱导公式 一 终边相同的角的同名三角函数值相等 即 cos 2 k kZ sin 2 k kZ tan 2 k kZ 其作用是把绝对值大于 2 的任一角的三角函数值化为 0 2 上的角的三角函数值 2 诱导公式 二 角 的三角函数等于角 的同名三角函数 前边放上把 看作锐角时 所在象限的原 三角函数值的符号 即 cos kZ sin kZ tan kZ 其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数 3 诱导公式 三 角 21 k kZ 的三角函数等于角 的同名三角函数 前边放上把角 看成锐角 时 21 k kZ 所在象限的原三角函数值的符号 即 cos 21 k kZ sin 21 k kZ tan 21 k kZ 4 诱导公式 四 cos 2 sin 2 tan 2 cos 2 sin 2 tan 2 5 诱导公式记忆口诀 奇变偶不变 符号看
