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1、第16讲 直线、圆的位置关系1.掌握判断直线与圆的位置关系的两种方法；2.解决与位置关系相关的问题，如，弦长、切线、方程等问题.3.体验几何问题代数化，代数结果几何化的过程.熟练数形结合的解题思路1.根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题是基础2.借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差是重点3.将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用是难点直线与圆的位置关系1、 直线与圆的三种位置关系的含义是:直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形来源:学_
2、科_网Z_X_X_K相交两个dr相切只有一个d=r相离没有dr2、 判断直线与圆位置关系的方法方法一代数方法,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；代数方法步骤：（1） 将直线方程与圆的方程联立成方程组.（2） 利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.（3） 求出其判别式的值.（4） 比较与0的大小关系,若0,则直线与圆相离；若=0,则直线与圆相切;若0,则直线与圆相交.反之也成立.方法二几何方法,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.几何方法步骤：（1） 把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.（2） 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的
3、距离.（3） 作判断：当dr时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当dr时,直线与圆相交.例1.已知点M(a，b)在圆O：x2y21外，则直线axby1与圆O的位置关系是().A 相切 B相交 C相离 D不确定【答案】B【解析】因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，而圆心O到直线axby1的距离d1，故直线与圆O相交练习1.已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.【答案】有两个公共点，它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).【解析】法一:由直线l与圆的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,
4、因为=(-3)2-412=10,所以直线l与圆相交,有两个公共点.法二：圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为,圆心C到直线l的距离d=.所以直线l与圆相交,有两个公共点.由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直线l与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法圆的切线与弦问题1、过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点
5、(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程xx0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当斜率不存在时要加以验证2、切线问题易错防范过圆外一点的圆的切线一定有两条，千万不要遗漏特别当算出的k值只有一个时，结合图形检验，一定不要忽视斜率不存在的情况3、解决有关弦长问题的两种方法：(1)几何法，直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2d2；(
6、2)代数法，联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.例2.已知圆O：，分别求过点A（1，），B（2，3）的切线方程【答案】过点A的切线方程为.过点B的切线方程为x = 2或5x 12y + 26 = 0.【解析】（1）因为，所以点A在圆O上，所以过点A的切线方程为，即.（2）因为，所以点B在圆外，设过点B的切线方程为y 3 = k (x 2)，即kx y 2k + 3 = 0，所以，又直线x = 2过点B且是圆的切线，所以过点B的切线方程为x = 2或5x 12y + 26 = 0.练习1. 已知直线l的斜率为
7、k,且与圆x2+y2=r2只有一个公共点,求直线l的方程.【答案】y=kxr.【解析】如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得d=r,b=r,求得切线方程是y=kxr.方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l与圆x2+y2=r2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由,得x2+k2(x+b)2=1,即x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,=0得b=r,求得切线方程是y=kxr. 练习2. 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.【答案】a的取值范
8、围是(,).【解析】将圆的方程配方得(x+)2+(y+1)2=,圆心C的坐标为(,1),半径r=,条件是43a20,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A必在圆外,即.化简,得a2+a+90,由解得a,aR.所以a.故a的取值范围是(,).例3.已知点M(3，1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值【答案】切线方程为y1(x3)；a0或a；a.【解析】(1)圆心C(1，2)，半径r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1，2)到直线
9、x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.圆的切线方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意得2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，4，解得a.练习1.已知直线l:y=2x2,圆C:x2y22x4y1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.【答案】|AB|长.【解析】解法一：由方程组解得即直线l与圆C的交点坐标为(,)和(1,4),则截得线段长为.解法二：由方程组(略)消去y,得5x22x3=0,设直线与圆交点为A
10、(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点为(-,-),所以得(x1-x2)2=,则所截线段长为|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=.解法三：圆心C为(1,2),半径r=2,设交点为A、B,圆心C到直线l之距d=,所以.则所截线段长为|AB|=.练习2.过点(3，1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_【答案】2【解析】设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|，由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆
11、心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210例4.已知圆C1：，圆C2：，试判断圆C1与圆C2的关系.【答案】两个圆相交 .【解析】解法一：联立方程组，相减得：x + 2y 1 = 0，代入圆的方程，并整理得：，因为 0，所以两个圆有两个公共点.解法二：因为，所以，得，所以，两个圆相交 .练习1.与圆x2y24x4y70和x2y24x10y130都相切的直线共有().A1条B2条C3条D4条【答案】C【解析】方程x2y24x4y70可化为(x2)2(y2
12、)21，此圆圆心为(2,2)，半径r11，方程x2y24x10y130可化为(x2)2(y5)216，此圆圆心为(2,5)，半径r24.两圆圆心距d5r1r2，则两圆外切，与两圆都相切的直线共有3条，故选C.例5.圆O1的方程为：x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2,1)（1）若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；（2）若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程【答案】方程为(x2)2(y1)2128；方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.【解析】（1）圆O1的圆心坐标为(0，1)，半径r12，圆O2的圆心坐标为(2,1)，圆心距为|O1O2|2，由两
13、圆外切知，所求圆的半径为r222，圆O2的方程为(x2)2(y1)2128.（2）由题意知，圆心O1到AB的距离为，当圆心O2到AB的距离为2时，圆O2的半径r22，此时圆O2的方程为(x2)2(y1)24.当圆心O2到AB的距离为23时圆O2的半径r22，此时圆O2的方程为(x2)2(y1)220.综上知，圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.练习1.若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_【答案】4【解析】由题意O1与O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5，又A、B关于OO1对称，所以AB为RtOAO1斜边上高的2倍，|AB|24.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到圆的规划问题 圆的规划问题主要可以用两种的、方法解决，一个是三角函数换元法，即，令 （为参数），就可以利用三角函数的相关性质解题了.或者研究规划问题的几何意义用几何手段解决问题
