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1、第 1 讲三角函数的概念 第一种方式 第一种方式 学习三角函数学习三角函数有什么用有什么用 三角学的发展 由起源迄今差不多经历了三 四千年之久 在古代 由于古代天文学的 需要 为了计算某些天体的运行行程问题 需要解一些球面三角形 在解球面三角形时 往 往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形 这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角 学 古代平面三角学 虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学 但古代平面三角学 却是古代球面三角学的发展基础 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数 它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射 三角函数在物理学中也是 常用的工具 在实际生
2、活中 有许多周期现象可以用三角函数来模拟 如物理中简谐振动 交流电中 的电流 潮汐等 都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题 很多最值 问题都可以转化为三角函数来解决 如天气预报 建筑设计 航海 测量 国防中都能找到 神奇的三角函数的影子 因而三角函数解决实际问题应用极广 渗透能力很强 思考 火箭飞升问题 一枚运载火箭从地面o处发射 当火箭到达 A 点时 从地面 C 处的雷达站测得 AC 的距离是 6km 仰角是 0 45 1s 后 火箭到达 B 点 此时测得 BC 的距离是 6 13km 仰角为 0 60 问 火箭从 A 点到 B 点的平均速度是多少 解 在OCBRt 中 B
3、C OB 0 60sin kmOB31 560sin13 6 0 kmAO24 445sin6 0 kmmOAOBAB07 1 24 431 5 skmskmtABv 07 1 1 07 1 第二种方式 三角函数的起源发展史第二种方式 三角函数的起源发展史 早期对于三角函数的研究可以追溯到古代 古希腊三角术的奠基人是公元前 2 世纪的喜 帕恰斯 他按照古巴比伦人的做法 将圆周分为 360 等份 即圆周的弧度为 360 度 与现代 的弧度制不同 对于给定的弧度 他给出了对应的弦的长度数值 这个记法和现代的正弦 函数是等价的 喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数公式表 然而古希腊的三角学基本是 球面
4、三角学 这与古希腊人研究的主体是天文学有关 梅涅劳斯在他的著作 球面学 中使用了正弦 来描述球面的梅涅劳斯定理 古希腊三角函数与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了 高峰 托勒密在 数学汇编 Syntaxis Mathematica 中计算了 36 度角和 72 度角的三角 函数的正弦值 还给出了计算和三角函数公式表以及角公式和半角公式的方法 托勒密还给 出了所有 0 到 180 度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值 古希腊文化传播到古印度后 古印度人对三角术进行了进一步的研究 公元 5 世纪末的 数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦 这个做法被后来的古印度数 学家使用 和
5、现代的正弦定义一致了 阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割 他在计算弦 长时使用了不同的单位 重新计算了 0 到 90 度中间隔三又四分之三度 3 75 的三角函 数值表 然而古印度的数学与当时的中国一样 停留在计算方面 缺乏系统的定义和演绎的 证明 阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义 但他们的三角函数学是直接继承于古希腊 阿拉伯天文学家引入了三角函数公式中的正切和余切 正割和余割的概念 并计算了间 隔 10 分 10 的正弦和正切数值表 到了公元 14 世纪 阿拉伯人将三角计算重新以算术方 式代数化 古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式 的努力为后来三角函数从天文学中 独立出来 成为了有更广
6、泛应用的学科奠定了基础 第三种方式 生活中的三角函数第三种方式 生活中的三角函数 在花样滑冰比赛中 运动员的动作是那么优美 尤其是原地转身和空中翻转动作都让我 们叹为观止 运动员在原地转身的动作中 仅仅几秒内就能旋转十几圈 甚至二十几圈 因 此 花样滑冰美丽而危险 你能算出他们在一次原地转身五圈的动作中转过的角度吗 炎炎夏日 用纸扇驱走闷热 无疑是一种好办法 扇子在美观设计上 可考虑用料 图 案和形状 若从数学角度看 我们能否用黄金比例 0 618 去设计一把富有美感的纸扇 唐朝诗人王之涣留给后人的佳作 登鹳雀楼 不仅刻画了祖国的壮丽山河 而且写出了 登高望远的襟怀 其中一句 欲穷千里目 更上一层楼 更解释了 只有站得高 才能看得 远 这一生活哲理 成为不朽名句 如果从数学角度推理 以自己为中心 要看到千里内 方 圆 500 千米 的景物 应登多少层楼呢 物以类聚 人以群分 之所以 分群 分类 是因为同类之间有很多共同点 彼 此紧密地联系 我们想想初中学的正弦 余弦和正切之间有什么联系
