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1、 第14讲 高一（下）期中总复习类型一 解三角形考点说明：正弦定理和余弦定理是重点内容，其综合应用是考查重点例1.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B=（）A B C D【答案】C【解析】已知等式利用正弦定理化简得：，即c2b2=aca2，a2+c2b2=ac，cosB=，B为三角形的内角，B=故选C例2.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2 B C22 D1【答案】B【解析】b=2，B=，C=，由正弦定理得：c=，A=，sinA=sin（+）=cos=，则SABC=bcsinA=22=+1,故选B例3.如图A
2、BC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为（）A B2 C D2【答案】C【解析】ADAC，DAC=90，sinBAC=sin（BAD+90）=cosBAD=，又AB=3，AD=3，BD2=AB2+AD22ABADcosBAD=18+9=3，BD=，故选C例4.ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB（1）求角B的大小；（2）若,，求ABC的面积【答案】（1）bcosC+c cosB=2acosB由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB，sinA0，0B
3、，；（2）,，b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=（a+c）23ac,即13=163ac，解得ac=1，【解析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；（2）利用余弦定理求出ac的值，代入三角形的面积公式即可例5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosAsinA）cosB=0（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围【答案】（1）由已知得：cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0，即sinAsinBsinAcosB=0，sinA0，sinBcosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（
4、2） a+c=1，即c=1a，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即b2=a2+c2ac=（a+c）23ac=13a（1a）=3（a）2+，0a1，b21，则b1【解析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2） 由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围例6.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时
5、，乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】如图，连接A1B2，A1A2B2是等边三角形，B1A1B2=10560=45，在A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B222A1B1A1B2cos45=，因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里【解析】连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出A1A2B2是等边三角形，进而求得B1A1B2，在A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，进而求得乙船的速度类型二 数列考
6、点说明：等差数列及其前n项和、等比数列及其前n项和、通项公式常见求法、前n项和常见求法是考查重点例7.已知等差数列an中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A100 B210 C380 D400【答案】B【解析】d=，a1=3，S10=210，故选B例8.已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A B7 C6 D【答案】A【解析】a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，故选A例9.等差数列an中，a2=4，a4+a7=15（）求数列an的通项公式；（）设bn=+n，求b1+b2+b3+b10的
7、值【答案】（）设公差为d，则，解得，所以an=3+（n1）=n+2；（）bn=+n=2n+n，所以b1+b2+b3+b10=（2+1）+（22+2）+（210+10）=（2+22+210）+（1+2+10）=【解析】（）建立方程组求出首项与公差，即可求数列an的通项公式；（）bn=+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+b10的值例10.等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式； （）设bn=，求数列bn的前n项和Sn【答案】（I）设等差数列an的公差为d,a7=4，a19=2a9，,解得a1=1，d=,=（II）=-sn=【解析】（I）由a7=4，a19=2a9
8、，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由=-，利用裂项求和即可求解例11.若数列an的前n项和为Sn，a1=1，（1）证明：数列an2为等比数列；（2）求数列Sn的前n项和Tn【答案】（1）Sn+an=2n,Sn1+an1=2（n1）n2,由得，2anan1=2，n2，2（an2）=an12，n2，a12=1，数列an2以1为首项，为公比的等比数列（2） 由（1）得，Sn+an=2n，=【解析】（1）利用当n2时，an=SnSn1，可得，2anan1=2，变形为2（an2）=an12，可得数列an2为等比数列；（2）利用（1）可得an，利用已知Sn+an=2n可得Sn，再利
9、用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出例12.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn【答案】（）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且,解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（）=，,得Sn=1+2（+），则=【解析】（）设an的公差为d，bn的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得an、bn的通项公式（）数列的通项公式由等差和等比数列构成，可用错位相减法求得前n项和Sn类型三 不等式考点说明：一元
10、二次不等式、二元一次不等式与简单线性规划、基本不等式都是考查重点例13.关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），且：x2x1=15，则a=（）A B C D【答案】A【解析】因为关于x的不等式x22ax8a20（a0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a，x1x2=8a2，又x2x1=15，24可得（x2x1）2=36a2，代入可得，152=36a2，解得a=，因为a0，所以a=,故选A例14.关于x的不等式ax2+bx+20的解集为（1，2），则关于x的不等式bx2ax20的解集为（）A（2，1） B（，2）（1，+）C（，1）（2，+） D（1，2）【答案】
11、B【解析】关于x的不等式ax2+bx+20的解集为（1，2），1，2是ax2+bx+2=0（a0）的两根,a=1，b=1,不等式bx2ax20为x2+x20，x2或x1,故选B例15.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A4 B6 C10 D17【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6故选B例16.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A B C5 D6【答案】C【解析】正数x，y满足x+3y=5xy，,3x+4y=
12、（）（3x+4y）=+2=5,当且仅当=时取等号,3x+4y5,即3x+4y的最小值是5,故选C例17.若loga（3a1）0，则a的取值范围是（）Aa Ba Ca1 Da或a1【答案】D【解析】loga（3a1）0，loga（3a1）loga1，当a1时，函数是一个增函数，不等式的解是a0，a1；当0a1时，函数是一个减函数，不等式的解是a，a综上可知a的取值是a1或a,故选D例18.已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）Aa7或 a24 Ba=7 或 a=24C7a24 D24a7【答案】C【解析】点（3，1）与B（4，6），在直线3x2y+a=0的两侧，两点对应式子3x2y+a的符号相反，即（92+a）（1212+a）0，即（a+7）（a24）0，解得7a24，故选C1、 正弦定理和余弦定理在三角形中的几何计算、实际应用是考查重点2、 等差数列、等比数列、数列求通项、数列求和是考查重点3、 一元二次不等式、二元一次不等式与简单线性规划、基本不等式是考查重点
