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1、演练方阵第8讲 解析几何（二）不用韦达定理的圆锥曲线解答题类型一:不用韦达定理的椭圆解答题考点说明：重点考察椭圆标准方程及直线与椭圆的位置关系【中】1. 已知P是椭圆上的一点， 是椭圆上的两个焦点，（1）当时，求的面积（2）当为钝角时，求点横坐标的取值范围【中】2. 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.F1 O F2xy(第17题)【难】3.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距
2、离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【难】4. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3.（1） 求椭圆的标准方程；（2） 过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程.【难】5. 已知椭圆： ，曲线上的动点满足：.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，第一象限的点分别在和上， ，求线段的长.【难】6. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设点为椭圆上任意一点
3、，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证： .【难】7在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆， 为椭圆的右顶点，过原点且异于轴的直线与椭圆交于两点， 在轴的上方，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，（1）若，求直线的斜率；（2）设与的面积分别为，求的最大值.【难】8. 已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.（）求椭圆的方程；（）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.类型二: 不用韦达定理的抛物线及双曲线解答题考点说明：重点考察抛物线及双曲线标准方程及与直线的位置关系【中】1. 如图
4、，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.求证：线段的中点坐标为；求的取值范围.【中】2.如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（）求直线斜率的取值范围；（）求的最大值【中】3.已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【中】4. 如图，已知直线与曲线在第一象限和第三象限分别交于点和点，分别由点、向轴作垂线，垂足分别为、，记四边形的面积为S. 求出点、的坐标及实数的取值
5、范围； 当取何值时，S取得最小值，并求出的最小值. 【中】5.已知抛物线.(1)设点的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线的距离最短，并求出距离的最小值【中】6. 已知双曲线， 是上的任意点.（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点的坐标为，求的最小值.参数求解问题类型一: 与椭圆有关的参数求解问题考点说明：与椭圆有关的参数求解问题是常考题型【中】1. 过椭圆C: 的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若，则椭圆C的离心率的取值范围是A. B. C. D. 【中】2
6、. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的焦点为， 是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为， ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【中】3. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C. D. 【中】4. 已知直线： 过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【难】5. 已知抛物线： 的焦点与椭圆： 的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于、两点. （）求抛物线的方程以及的值；（
7、）记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在常数，使得且都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【难】6. 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上， 的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是， ， ， （1）求， 的标准方程；（2）是否存在直线满足条件：过的焦点；与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由【难】7. 已知圆，圆心为，定点， 为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足（）求点的轨迹的方程；（）为坐标原点， 是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点当且满足时，求面积的取值范围类型二:与双曲线和抛物线有关的参数求解问题考点说明：
8、与双曲线和抛物线有关的参数求解问题是常考题型【中】1.已知直线： （）和抛物线.（1）若直线与抛物线哟两个不同的公共点，求的取值范围；（2）当时，直线与抛物线相交于、两点，求的长.【中】2. 已知双曲线的左右两个顶点是， ，曲线上的动点关于轴对称，直线 与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.【中】3. 已知命题：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.【中】4.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为A16B14C12D10【中】5.设O为坐标原点，P是以F
9、为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A） （B） （C） （D）1【中】6.在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.【中】7.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【中】8.已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）2【中】9. 将离心率为的双曲线的实半
10、轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）A对任意的， B当时，；当时，C对任意的， D当时，；当时，【中】10. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .【中】11.设双曲线： 的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为， ，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（ ）A. B. C. D. 无法确定【中】12.已知点为双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A. B. C. D. 圆锥曲线的相关证明类型一:圆锥曲线中定点定直线问
11、题证明考点说明：圆锥曲线中定点定直线问题是常考题型【中】1. 已知椭圆： （）的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点.（1）已知，椭圆的离心率为，直线交直线于点，求的周长及的面积；（2）当且点在第一象限时，直线交轴于点， ，证明：点在定直线上.【中】2. 已知椭圆与轴的正半轴相交于点，且椭圆上相异两点满足直线的斜率之积为（）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；（）求三角形的面积的最大值【中】3.已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定
12、点，请说明理由.【中】4. 已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.【难】5.在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（1）求的最小值；（2）若，求证：直线过定点.【难】6. 已知是抛物线W： 上的两个动点，是抛物线的焦点， 是坐标原点，且恒有.(1)若直线的倾斜角为时，求线段的中点的坐标；(2)求证直线经过一定点，并求出此定点.【难】7.
13、 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .（1）求抛物线的方程；（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由. 【难】8.已知是抛物线上一点， 到直线的距离为， 到的准线的距离为，且的最小值为（）求抛物线的方程；（）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点【难】9. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.类型二:圆锥曲线中定值问题证明考点说明：圆锥曲线中定值问题是常考题型【中】1. 设抛物线： ， 为的焦点，过的直
14、线与相交于两点.（1）设的斜率为1，求；（2）求证： 是一个定值.【中】2. 设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.（1）若直线过椭圆的焦点，（ 为半焦距），求直线的斜率的值；（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【中】3. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证： 为定值.【难】4. 已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于， 两点， 为坐标原点（I）求椭圆的标准方程（II）设，延长， 分别与椭圆交于， 两点，直线的斜率为，求证： 为定值【难】5.
