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1、 高三数学 二轮 2018 春季 第 1 页 第 8 讲 解析几何 二 本讲模块 高考考点 高考要求 了解 理解 掌握 不用韦达定理的 圆锥曲线解答题 不用韦达定理的椭圆解答题 C 不用韦达定理的双曲线抛物线解 答题 B 参数求解问题 与椭圆有关的参数问题 与双曲线抛物线有关的参数问题 C 圆锥曲线的相关 证明 定点 定直线问题 C 定值问题问题 C 1 不用韦达定理的圆锥曲线大题是重点也是难点 2 圆锥曲线的参数问题是难点 3 定点 定值 定直线是重点也是难点 高三数学 二轮 2018 春季 第 2 页 不用韦达定理的圆锥曲线解答题 1 椭圆的标准方程 1 22 22 1 0 xy ab a
2、b 焦点 12 0 0 FcF c 其中 22 cab 2 22 22 1 0 xy ab ba 焦点 12 0 0 Fc Fc 其中 22 cab 2 双曲线的标准方程 1 22 22 1 0 0 xy ab ab 焦点 12 0 0 FcF c 其中 22 cab 2 22 22 1 0 0 xy ab ba 焦点 12 0 0 Fc Fc 其中 22 cab 解析几何 二 不用韦达定理的 圆锥曲线解答题 参数求解问题 圆锥曲线的相关 证明 不用韦达定理的椭圆解答题 不用韦达定理的双曲线抛物线解答题 与椭圆有关参数求解问题 与双曲线和抛物线有关参数求解问题 定值的证明问题 定点定直线证明问
3、题 高三数学 二轮 2018 春季 第 3 页 3 抛物线的标准方程 1 2222 2 2 2 2 0 ypx ypx xpy xpyp 对应的焦点分别为 0 0 0 0 2222 pppp FFFF 教师备案 1 考点 圆锥曲线解答题 2 意图与目的 本部分核心在于不使用韦达定理 通过解方程解决问题 3 重难点 1 圆锥曲线与直线的位置关系的应用 2 通过对方程求解解决几何问题 4 知识层面 属于 C 难度的能力题目 例 1 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为 1 2 已 知A是抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F到抛物线的准线l的距离为
4、1 2 I 求椭圆的方程和抛物线的方程 II 设l上两点P Q关于x轴对称 直线AP与椭圆相交于点B B异于点A 直 线BQ与x轴相交于点D 若APD 的面积为 6 2 求直线AP的方程 答案 1 2 2 4 1 3 y x 2 4yx 2 3630 xy 或3630 xy 解析 设F的坐标为 0 c 依题意 1 2 c a 2 p a 1 2 ac 解得1a 1 2 c 2p 于是 222 3 4 bac 所以 椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x 抛物线的方程 为 2 4yx 解 设直线AP的方程为1 0 xmym 与直线l的方程1x 联立 可得点 2 1 P m 故 2 1 Q m
5、将1xmy 与 2 2 4 1 3 y x 联立 消去x 整理得 22 34 60mymy 解得0y 或 2 6 34 m y m 由点B异于点A 可得点 高三数学 二轮 2018 春季 第 4 页 2 22 346 3434 mm B mm 由 2 1 Q m 可得直线BQ的方程为 2 22 62342 1 1 0 3434 mm xy mmmm 令0y 解得 2 2 23 32 m x m 故 2 2 23 0 32 m D m 所以 22 22 236 1 3232 mm AD mm 又因为APD 的面积为 6 2 故 2 2 1626 232 2 m mm 整理得 2 32 6 20m
6、m 解得 6 3 m 所以 6 3 m 所以 直线AP的方程为3630 xy 或3630 xy 练习 1 设椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为 1 2 已知A是 抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点 F到抛物线的准线l的距离为 1 2 I 求椭圆的方程和抛物线的方程 II 设l上两点P Q关于x轴对称 直线AP与椭圆相交于点B B异于点A 直 线BQ与x轴相交于点D 若APD 的面积为 6 2 求直线AP的方程 答案 1 2 2 4 1 3 y x 2 4yx 2 3630 xy 或3630 xy 解析 设F的坐标为 0 c 依题意 1 2 c a
7、 2 p a 1 2 ac 解得1a 1 2 c 2p 于是 222 3 4 bac 所以 椭圆的方程为 2 2 4 1 3 y x 抛物线的方程 为 2 4yx 设直线AP的方程为1 0 xmym 与直线l的方程1x 联立 可得点 2 1 P m 故 2 1 Q m 将1xmy 与 2 2 4 1 3 y x 联立 消去x 整理得 22 34 60mymy 解得0y 或 2 6 34 m y m 由点B异于点A 可得点 高三数学 二轮 2018 春季 第 5 页 2 22 346 3434 mm B mm 由 2 1 Q m 可得直线BQ的方程为 2 22 62342 1 1 0 3434
8、mm xy mmmm 令0y 解得 2 2 23 32 m x m 故 2 2 23 0 32 m D m 所以 22 22 236 1 3232 mm AD mm 又因为APD 的面积为 6 2 故 2 2 1626 232 2 m mm 整理得 2 32 6 20mm 解得 6 3 m 所以 6 3 m 所以 直线AP的方程为3630 xy 或3630 xy 练习 2 已知椭圆 1 C 2 2 1 4 x y 曲线 2 C上的动点 M x y满足 22 22 2 32 316xyxy 1 求曲线 2 C的方程 2 设O为坐标原点 第一象限的点 A B分别在 1 C和 2 C上 2OBOA
9、求线段AB 的长 答案 1 22 1 164 yx 2 2 10 5 解析 1 由已知 动点M到点 0 2 3P 0 2 3Q的距离之和为8 且8PQ 所以动点M的轨迹为椭圆 而4a 2 3c 所以2b 故椭圆 2 C的方程为 22 1 164 yx 2 解 A B两点的坐标分别为 AABB xyxy 由2OBOA 及 1 知 O A B 三点共线且点 A B不在y轴上 因此可设直线AB的方程为ykx 将ykx 代入 2 2 1 4 x y 中 得 22 1 44kx 所以 2 2 4 1 4 A x k 高三数学 二轮 2018 春季 第 6 页 将ykx 代入 22 1 164 yx 中
10、得 22 416kx 所以 2 2 16 4 B x k 又由2OBOA 得 22 4 BA xx 即 22 164 41 4kk 解得 2 1 k 2244 5 5 5 5 5555 AB 故 22 42422 555510 55555 AB 例 2 设点 1 0 4 F 动圆A经过点F且和直线 1 4 y 相切 记动圆的圆心A的 轨迹为曲线C 1 求曲线C的方程 2 设曲线C上一点P的横坐标为 0 t t 过P的直线交C于一点Q 交x轴于点M 过点Q作PQ的垂线交C于另一点N 若MN是C的切线 求t的最小值 答案 1 2 xy 2 min 2 3 t 解析 1 过点A作直线AN垂直于直线
11、1 4 y 于点N 由题意得AFAN 所以 动点A的轨迹是以F为焦点 直线 1 4 y 为准线的抛物线 所以抛物线C得方程为 2 xy 2 由题意知 过点 2 P t t的直线PQ斜率存在且不为0 设其为k 则 2 PQ lytk xt 当 2 0 tkt yx k 则 2 0 tkt M k 联立方程 2 2 y tk xt xy 整理得 2 0 xkxt kt 即 0ktxkt 解得xt 或xkt 2 Q kt kt 而QNQP 所以直线NQ斜率为 1 k 高三数学 二轮 2018 春季 第 7 页 21 PQ lyktxkt k 联立方程 2 2 1 y ktxkt k xy 整理得 2
12、 2 11 0 xxktkt kk 即 2 10 10kxxktk ktkxk ktxkt 解得 1k kt x k 或xkt 2 2 2 2 2 22 22 1 11 1 1 1 MN k kt kktk kt k kt k Nk k ktkktkt k tk kk 而抛物线在点N的切线斜率 ky 122k ktk kt x kk MN是抛 物线的切线 2 2 22 1 22 1 kkt k kt kk tk 整理得 2222 1 20 4 1 20kktttt 解得 2 3 t 舍去 或 min 22 33 tt 练习 1 已知双曲线 22 22 1 xy C ab 的离心率为3 点 3
13、0 是双曲线的一个顶点 1 求双曲线的方程 2 经过双曲线右焦点 2 F作倾斜角为30 的直线l 直线l与双曲线交于不同的 A B两点 求AB的长 答案 1 22 1 36 xy 2 16 3 5 解析 1 因为双曲线 22 22 1 xy C ab 的离心率为3 点 3 0 是双曲线的一个顶点 所以 3 3 6acb 即 22 1 36 xy 2 经过双曲线右焦点 2 F作倾斜角为30 的直线 3 3 3 lyx 与双曲线联立方程组 高三数学 二轮 2018 春季 第 8 页 消yy 得 2 12 9 56270 3 5 xxxx 由弦长公式解得 12 1 1 3 ABxx 16 3 5 练
14、习 2 已知椭圆C的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线与 x轴所成的夹角为30 且双曲线的焦距为4 2 1 求椭圆C的方程 2 设 12 F F分别为椭圆C的左 右焦点 过 2 F作直线l 与x轴不重合 交椭圆于A B 两点 线段AB的中点为E 记直线 1 FE的斜率为k 求k的取值范围 答案 1 22 1 62 xy 2 66 1212 解析 1 一条渐近线与x轴所成的夹角为30 知 3 tan30 3 b a 即 22 3ab 又2 2c 所以 22 8ab 解得 2 6a 2 2b 所以椭圆C的方程为 22 1 62 xy 2
15、由 1 知 2 2 0F 设 11 A x y 22 B xy 设直线AB的方程为2xty 联立 22 1 62 2 xy xty 得 22 3420tyty 由 12 2 4 3 t yy t 得 12 2 12 3 xx t 22 62 33 t E tt 高三数学 二轮 2018 春季 第 9 页 又 1 2 0F 所以直线 1 FE的斜率 2 2 2 2 3 6 6 2 3 t t t k t t 当0t 时 0k 当0t 时 2 11 6 2 66 t k t t t 即 6 0 12 k 综合 可知 直线 1 FE的斜率k的取值范围是 66 1212 圆锥曲线问题在历年高考都是较有
16、难度的压轴题 不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛 物线的位置关系的特点 列方程组 求出椭圆和抛物线方程 还是第二步联立方程组求出点 的坐标 写直线方程 利用面积求直线方程 都是一种思想 就是利用大熟地方法解决几何 问题 坐标化 方程化 代数化是解题的关键 参数求解问题 圆锥曲线的参数求解问题 通常应用转化与化归思想 将问题转化为参数的方程 在某 给定范围内有解的问题 或挖掘题设的约束条件 将问题转化为与参变量相关的存在性问题 然后综合应用方程 不等式和函数等基础知识求得参变量的取值范围 教师备案 1 考点 圆锥曲线中有关的求参数问题 2 意图与目的 本部分核心方程思想与圆锥曲线综合 3 重难点 直线与圆锥曲线有关的参数问题 4 知识层面 属于 C 难度的综合应用 高三数学 二轮 2018 春季 第 10 页 例 3 已知圆 2 2 1 18Fxy 圆心为 1 F 定点 2 1 0F P为圆 1 F上一点 线段 2 PF上一点N满足 22 2PFNF 直线 1 PF上一点Q 满足 2 0QN PF 求点Q的轨迹C的方程 O为坐标原点 O是以 12 F F为直径的圆 直线 l ykxm
