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1、演练方阵第4讲 平面向量的坐标运算和数量积平面向量的坐标表示及坐标运算类型一:平面向量的坐标运算考点说明：向量的坐标运算是重点也是易考点，难度较小，需要学生牢记向量的运算关系即一个向量的坐标等于此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标【易】1(2014广东文，3)已知向量a(1,2)、b(3,1)，则ba()A(2,1) B(2,1)C(2,0) D(4,3)【答案】B【解析】a(1,2)、b(3,1)，ba(31,12)(2,1)【易】2(2014北京文，3)已知向量a(2,4)、b(1,1)，则2ab()A(5,7) B(5,9)C(3,7) D(3,9)【答案】A【解析】2ab(4,8
2、)(1,1)(5,7)【易】3（1）设向量a、b的坐标分别是(1,2)、(3,5)，求ab，ab，2a3b的坐标；（2）设向量a、b、c的坐标分别为(1,3)、(2,4)、(0,5)，求3abc的坐标【答案】见解析【解析】（1）ab(1,2)(3,5)(13,25)(2,3)；ab(1,2)(3,5)(13,25)(4,7)；2a3b2(1,2)3(3,5)(2,4)(9,15)(29,415)(7,11)（2）3abc3(1,3)(2,4)(0,5)(3,9)(2,4)(0,5)(320,945)(5,8) 【易】4已知a(5,2)、b(4,3)、c(x，y)，且2ab3c0，则c等于()A
3、(2，) B(2,)C(2,) D(2,)【答案】C【解析】2ab3c(10,4)(4,3)(3x,3y)(63,73y)，.【中】5已知向量a(1,2)、b(2,3)、c(3,4)，且c1a2b，则1、2的值分别为()A2， 1 B1，2C 2，1 D1, 2【答案】D【解析】c1a2b(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，故选D【难】6若向量|a|b|1，且ab(1,0)，求向量a、b的坐标【答案】a(,)、b(,)或a(,)、b(,)【解析】设a(m,n)、b(p,q)，则有，解得或故a(,)、b(,)或a(,)、b(,)类型二:平面向量的坐标求法考点说明：向量的坐标求
4、法是重点也是易错点，同时也是向量运算的基础需要重点记忆向量坐标求法的公式【易】1若向量a(x3，x23x4)与相等，已知A(1,2)、B(3，2)，则x的值为()A1 B1或4C 4 D 1或4【答案】A【解析】A(1,2)、B(3,2)，(2,0)，又a，x1.【易】2已知(5,3)、C(1,3)、2，则点D的坐标是()A(11,9) B(4,0)C(9,3) D(9,3)【答案】D【解析】(5,3)，2(10,6)，设D(x，y)，又C(1,3)，(x1,y3)，.【易】3已知两点A(4,1)、B(7,3)，则与向量同向的单位向量是()A BC D【答案】A【解析】(3,4)，|5，故与向
5、量同向的单位向量是.【易】4已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(x2x1)i(x2x1)j(其中xR)，则点A位于()A第一、二象限 B第二、三象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】x2x10，(x2x1)0，点A位于第四象限【中】5设已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及t求t为何值时，（1）P在x轴上？（2）P在y轴上？（3）P在第二象限？【答案】见解析【解析】(3,3)，t(1,2)t(3，3)(13t,23t)(1)当点P在x轴上时，23t0，t(2)当点P在y轴上时，13t0，t(3)当点P在第二象限时，t【中】6在平行四边形AB
6、CD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_【答案】(3,5)【解析】(1,1)，(3,5)【中】7原点O为正六边形ABCDEF的中心，(1,)、(1,)，则等于()A(2,0) B(2,0)C(0,2) D(0,)【答案】A【解析】OABC为平行四边形，(2,0)【中】8设点A(2,0)、B(4,2)，点P在直线AB上，且|2|，则点P的坐标为_【答案】(3,1)或(1,1)【解析】点P在直线AB上，且|2|，当点P在线段AB上时，P为线段AB的中点，P(,)，即P(3,1)当点P在线段BA的延长线上时，22，设P(x，y)，2(42x，2y)，.P(1，1) 【难】9已知直线上
7、三点P1、P、P2满足|，且P1(2,1)、P2(1,3)，求点P的坐标【答案】(，)或(8,9)【解析】|，或，设P(x，y)，则(x2，y1)(1x,3y)，即，或解得，或故点P的坐标为(，)或(8，9) 类型三:坐标法下的向量共线问题考点说明：坐标法下的向量共线问题是考察重点，要牢记向量共线的充要条件：设，其中，当且仅当时，向量和向量共线【易】1(2015潮州高一期末测试)已知向量a(2,1)、b(x,2)，若ab，则x()A1 B1C2 D4【答案】D【解析】ab，2(2)x0，x4【易】2向量a(3,1)、b(1,3)、c(k,7)，若(ac)b，则k等于()A3 B3C5 D5【答
8、案】C【解析】ac(3k,6)，b(1,3)，由题意得，93k6，k5【易】3已知向量a(3,4)、b(cos,sin)，且ab，则tan()A BC D【答案】B【解析】ab，3sin4cos0，tan【易】4设向量a(4sin,3)、b(2,3sin)，且ab，则锐角_.【答案】【解析】由已知，得12sin26，sin，为锐角，【易】5已知向量a(1,2)、b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，求x的值【答案】x【解析】ua2b(1,2)2(x,1)(12x,4)，v2ab2(1,2)(x,1)(2x,3)因为uv，所以(12x)3(2x)4解得x【易】6平面内给定三个向量a(3,2)
9、、b(1,2)、c(4,1)，(1)求满足ambnc的实数m、n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k【答案】（1）；（2）k【解析】(1)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)，解得(2)(akc)(2ba)，又akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0.k【中】7设向量O(k,12)、O(4,5)、O(10,k)，当k为何值时，A、B、C三点共线【答案】k11或k2【解析】O(k,12)、O(4,5)、O(10,k)，AOO(4,5)(k,12)(4k,7)，BOO(10,k)(4,5)(6,k5) A、B、C三点共线，A与B共线，(
10、4k)(k5)6(7)0，解得k11或k2【中】8已知平面向量a(x,1)、b(x,x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线【答案】C【解析】a(x,1)，b(x,x2)，ab(0,x21)，1x20，向量ab平行于y轴【中】9若三点A(2,2)、B(a,0)、C(0,b)(ab0)共线，则()A B1C2 D4【答案】A【解析】(a2,2)，(2,b2)，(a2)(b2)40，ab2(ab)0ab0，将等式两边同除以ab，得12()0，【中】10已知点A(1,2)，若向量与a(2,3)同向，|2，则点B的坐标为_【答案】(5,
11、4)【解析】设点B的坐标为(x,y)，(x1,y2)，与a同向，3(x1)2(y2)0，3x2y70又(x1)2(y2)252，由，得或当x3，y8时，(4,6)2a不合题意，x5、y4B(5,4)【难】11已知A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3,1)、(1,2)，并且，求证：【答案】见解析【解析】设E(x1,y1)、F(x2,y2)，依题意有：(2,2)、(2,3)、(4,1)因为，所以因为，所以因为(x11，y1)，所以E因为(x23，y21)，所以F又因为4(1)0，所以【难】12已知直角坐标平面上四点A(1 ,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0,2)，求证：四边形ABCD
12、是等腰梯形【答案】见解析【解析】由已知，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2,2)3(2)3(2)0，与共线又(0,2)(1,0)(1,2)，3(1)320，与不共线ABCD，AB与AD不平行又|3，|2，|，即ABCD(2,4)(4,3)(2,1)，(1,2)，|故四边形ABCD是等腰梯形平面向量的数量积类型一:几何法下平面向量的数量积运算 考点说明：平面向量的数量积运算是考察重点，有两种形式：一是几何法下根据长度和夹角计算；二是坐标法下利用坐标公式计算.对于第一种形式，要注意确定两个向量的夹角，若夹角不易求或不可求，可选择易求夹角和模的基底进行转化【易】1若|a|2，|b|4，a与b的夹角为60，则ab等于()A BC1 D4【答案】D【解析】ab|a|b|cos24cos604.【易】2若向量ab满足|a|，|b|
