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1、第18讲 圆锥曲线综合1.了解常见的圆锥曲线综合类型题；2.掌握利用韦达定理求解圆锥曲线问题的方法；3.强化圆锥曲线的计算推理能力和转化思想。1.运用韦达定理解决圆锥曲线问题是重点；2. 弦长公式和面积公式是重点；3.利用向量求解圆锥曲线问题是难点。_弦长问题一、涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长，设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x2x1|y2y1|；二、涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解三、涉及中点中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式
2、相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用例1. (2016全国甲卷)已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN的面积(2)当2|AM|AN|时，证明：k0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.又A(2,0
3、)，因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)证明将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入1得(34k2)x216k2x16k2120，由x1(2)得x1，故|AM|x12|.由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即4k36k23k80，设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)单调递增，又f()15260，因此f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以kb0)的左，右焦点，过F1且斜率为
4、1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程【答案】（1） （2）1【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l的方程为yxc，其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|，即a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由
5、|PA|PB|，得kPN1，即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解例2. 已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【答案】D【解析】因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y(x3)，代入椭圆方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中
6、点的横坐标为1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3，选D.练习1. 已知(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则l的方程是_【答案】x2y80【解析】设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.中点弦问题通常采用点差法求解，主要考察“设而不求”的解题思想方法。面积问题一、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形
7、的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形二、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化三、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析四、椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式（证明详见“圆锥曲线的性质”）（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则（2）双曲线：设为椭圆上一点，且，则例3. （2015浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点
8、为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是（）A|BF|-1|AF|-1B|BF|2-1|AF|2-1C|BF|+1|AF|+1D|BF|2+1|AF|2+1【答案】A【解析】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=1，过A，B分别作AEDE于E，交y轴于N，BDDE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|1=|BF|1，|AN|=|AE|1=|AF|1，则SBCFSACF=|BC|AC|=|BM|AN|=|BF|-1|AF|-1，故选：A练习1. （2017郑州三模）椭圆x25+
9、y24=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当FMN的周长最大时，FMN的面积是（）A55B655C855D455【答案】C【解析】解：设右焦点为F，连接MF，NF，|MF|+|NF|MN|，当直线x=a过右焦点时，FMN的周长最大由椭圆的定义可得：FMN的周长的最大值=4a=45c=5-4=1把c=1代入椭圆标准方程可得：15+y24=1，解得y=45此时FMN的面积S=122245=855故选：C面积关系，利用圆锥曲线的定义进行转化是解决本题的关键例4. （2016秋双流县校级期中）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率e=22，且点P（2，
10、1）在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上求AOB面积的最大值【答案】322【解析】解：（）由题意得：&e=ca=22&4a2+1b2=1&a2=b2+c2，解得a=6，b=3，椭圆C的方程为x26+y23=1；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线AB的斜率为k，则&x126+y123=1&x226+y223=1，两式作差可得x12-x226+y12-y223=0，得2x06+2y03k=0，又直线OP：y=12x，M在线段OP上，y0=12x0，解得k=1设直线AB的方程为y=x+m，m（0，3），联立&y
11、=-x+m&x26+y23=1，得3x24mx+2m26=0，=16m212（2m26）=728m20，得3m3x1+x2=4m3，x1x2=2m2-63|AB|=1+(-1)2|x1-x2|=439-m2，原点到直线的距离d=|m|2，SOAB=12439-m2|m|2=23(9-m2)m2322当且仅当m=322（0，3）时，等号成立OAB面积的最大值322练习1. 已知x28+y24=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A（2，2）在椭圆上，且AF2与x轴垂直，过A作直线与椭圆交于另一点于B，求AOB面积的最大值【答案】22【解析】解：由题意可得，B为椭圆上除（2，2），（2，2）外的点要
12、使AOB面积最大，则B到OA所在直线距离最远，设与OA平行的直线方程为y=22x+b，联立&y=22x+b&x28+y24=1，消去y并化简得x2+2bx+b2-4=0由=(2b)2-4(b2-4)=0，解得b=22不妨取b0，与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=22x+22化为一般式得：2x-2y+42=0则B到直线OA的距离等于O到直线2x-2y+42=0的距离，等于|42|(2)2+(-2)2=433又|OA|=22+(2)2=6AOB面积的最大值为S=126433=22利用“点差法”求出点所在直线的斜率，设出直线方程，与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公
13、式求出原点到直线AB的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值垂直问题垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、是直线与曲线的两个交点，为坐标原点，(1)，则，(2) 若,则例5. （2016秋怀柔区期末）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点（）求椭圆C的离心率；（）求证：OAOB；【答案】（）63（）见解析【解析】解：（）由题意可知a2=4，b2=43，即有c2=a2-b2=83则e=ca=63故椭圆C的离心率为63；（）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=1在x24+3y24=1中，令x=1得y=1不妨设A（1，1），B（1，1），则OAOB=1-1=0可得OAOB；同理，当l：x=1时，也有OAOB若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意|m|k2+1=1，即k2+1=m2由&y=kx+m&x2+3y2=4，得（3k2+1）x2+6kmx+
