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1、第2讲 函数及其性质1.了解函数的定义及其三要素.2.掌握函数的单调性及奇偶性.3.理解函数零点的判定（即零点存在定理）.1.函数的三要素是考试重点.2.函数的基本性质是高考热点，也是难点.3.注意函数单调性、奇偶性、周期性等的综合应用.函数的概念1. 映射设是两个非空集合，如果按照某种对应法则，对中的任意一个元素在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合的映射，这时称是在映射的作用下的象，记作，于是称为的原象，映射也可记为：其中叫做映射的定义域（函数定义域的推广）由所有象构成的集合叫做映射的值域通常记作将上述定义中集合限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：2. 函数设集合是一个非
2、空数集，对中的任意的数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合上的一个函数记作，其中叫做自变量自变量取值的范围（数集）叫做这个函数的定义域如果自变量取值，则由法则确定的值称为函数在处的函数值，记作所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则4. 基本函数的定义域（1） 分式的分母不应为零；（2） 零次或负次指数次幂的底数不为零；（3） 偶次方根的被开方数大于或者等于零；（4） 对数式的真数大于零；（5） 底数大于0且不等于1；（6） 的定义域为；（7） 应用题中要结合实际情况考察定义域5. 抽象函数的定义域抽象函数的定义域：在同一对
3、应法则下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集6. 函数的表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系例1. 函数的定义域为（ ）A B C D【答案】D【解析】由，解得或，故选D练习1. 函数的定义域是_【答案】【解析】自变量满足解得不等式的解集为，即函数所求定义域练习2. 已知函数的定义域为，（1）求函数的定义域；（2）求函数的定义域【答案】（1）；
4、（2）【解析】（1）由函数的定义域为知，要使有意义，则，即故函数 的定义域为（2）由函数的定义域为知，要使有意义，则，即.解决函数定义域问题，如果给出函数的解析式，则根据解析式找出所有的限定条件，然后解不等式组即可得到；抽象函数求定义域，先确定函数的定义域，然后根据同一题中，同一函数法则下定义域相同为桥梁，进行解题.例2. 求函数的值域【答案】【解析】（换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为练习1. 求的值域.【答案】【解析】（换元法）：，设，则，所以，.练习2. 求函数的最大值【答案】【解析】由基本不等得：，当且仅当时等号成立.求函数值域常用方法：换元法、不等式法、分离常数法、判别式法
5、、单调性法，导数法等方法，在解题过程中要灵活应用.例3. 一个圆环直径为,通过铁丝(是圆上三等分点) 悬挂在处，圆环呈水平状态并距天花板2，如图所示()设长为(),铁丝总长为,试写出关于的函数解析式,并写出函数定义域;()当取多长时,铁丝总长有最小值,并求此最小值【答案】() (；() 6【解析】()由题意四点构成一个正三棱锥,为该三棱锥的三条侧棱三棱锥的侧棱；于是有( ()对求导得令得,解得或(舍) 当时,当时,故当时,即时,取得最小值为6练习1.设函数满足，求函数的解析式【答案】【解析】，用代替 得 ，两式联立构成方程组，解得.练习2. 记二次函数在的最大值为，写出的函数表达式，并求出的最
6、小值【答案】【解析】抛物线的对称轴为直线，当对称轴位于区间的左侧、中间及右侧时，对应的最大值各不相同，因此要对分类讨论抛物线的对称轴为直线，讨论对称轴的位置： 当时，即时，； 当，即时，； 当，即时， ，所以有函数的解析式求解中，结合实际条件，找到变量之间的关系如果函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，此时常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.函数的性质1. 函数单调性(1)函数单调性的定义：如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数常用证明方法：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；若，则为的减函数(2)函数
7、单调性的应用利用定义都是充要性命题即若在区间上递增（递减）且（）；若在区间上递递减且（）(3)复合函数单调性的判断：“同增异减”复合函数的概念：如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数注意：只有当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合函数2. 函数的奇偶性与对称性(1)奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，且，那么函数就叫做奇函数；(2)偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，都有，那么函数就叫做偶函数(3)图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的
8、图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数(4)奇偶函数的性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；是偶函数的图象关于轴对称；是奇函数的图象关于原点对称；奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性为偶函数若奇函数的定义域包含，则设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.(5)对称性：关于y轴对称：；关于原点
9、对称：；关于直线对称：或；关于点对称：或3. 函数的周期性(1)周期函数：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期(2)几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若 为偶函数，则其周期为函数的图象关于直线和都对称，则函数是以 为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函
10、数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数.例4.设是R上的奇函数，且，当时，则( ) A1 B0 C1 D2003【答案】C【解析】， 的周期为6，选C练习1. 直线设是定义在R上的奇函数，且的图像关于直线对称，则+=_【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，又的图像关于直线对称，且,是的一个周期故+练习2.设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）A B C D 【答案】B【解析】是以6为周期的函数，即又的图象关于直线对称，,又在上单调递减，即函数单调性、奇偶性和周期性综合应用，是高考中常见的考查方式.例5.已知函数的定义域为R
11、，对任意实数都有，且当时，（1）证明:且时，（2）证明: 在R上单调递减;（3）若试确定的取值范围【答案】见解析【解析】（1）证明：令，则，当时， ，故，当时，当时，则.(2)证明: 任取且，则=，故，又，故，函数是R上的单调减函数(3) 因为，由（2）知，是R上的减函数，所以，因为，又方程组无解，即直线与单位圆的内部无公共点，故的取值范围是.练习1.已知函数满足：，则_【答案】【解析】取，有，同理，联立得，所以，故.有关抽象函数的基本性质的题目，一般采取的是特殊值法，然后结合题目中给出的条件，推出要求解的结果.函数的零点1. 函数的零点(1)零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x
12、)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性判定定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根2. 二分法(1)对于在区间上连续，且满足的函数通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法(2)用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间，验证，给定精确度
13、第二步：求区间的中点第三步：计算 若，则就是函数的零点； 若，则令； 若，则令第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值（或），否则重复第二、三、四步例6.函数的零点所在的一个区间是（ ）A B C D【答案】B【解析】解法1因为，所以函数的零点所在的一个区间是故选B解法2可化为画出函数和的图象，可观察出选项C，D不正确，且，由此可排除B，故选B练习1.设函数，则其零点所在的区间为（ ）A B C D【答案】B【解析】在上单调增，故零点所在区间零点存在定理与二分法，是我们判断函数零点的常用依据和方法.例7.若函数有两个零点，则实数的取值范围是 _.【答案】【解析】设函数和函数，则函数有两个零点，就是函数与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合；当时，因为函数的图象过点，而直线所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点所以实数的取值范围是练习1.已知函数有零点，则的取值范围是_【答案】【解析】设函数和函数，则函数有零点就等价于函数和函数的图象有交点，如图.由导数知识可知，当直线与曲线相切时，可得，若函数和函数的图象有交点，则需满足.复杂函数的零点问题，可以转化成两个简单函数的交点问题进行解决.1.函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的综合考查是重点.2.函数零点问题，首先应用零点存在定理进行判断，复杂函数要注意转化简单函数.
