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1、第5讲 导数综合1. 了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用导数解决实际问题。2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上可导函数的最大值、最小值。3.会利用导数解决实际问题。1.利用导数研究函数的性质是基础。2.导数与函数、方程、不等式、解析几何综合应用是难点。导数与函数之恒成立问题1.不等式恒成立问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化思想将其转化为函数的最值问题，方法采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数。若函数在区间D上存在最小值和最大值，则：不等式在区间
2、D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立。若函数在区间D上不存在最小值和最大值，且值域为，则：不等式或（）在区间D上恒成立；不等式或（）在区间D上恒成立。2.已知函数在区间上单调递增或单点递减，转化为导函数恒大于等于零或恒小于等于零。 例1. 若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围_【答案】【解析】记 对任意实数都成立，F（x）在R上的最小值大于，因为 ，所以当时，故在）上是减函数；当时，故在上是增函数当时，函数有极小值，这个极小值即为函数在R上的最小值，即min=，因此当，即时，不等式对任意实数都成立。练习1. 对于总有成立，则的范围为 。【答案
3、】【解析】总有成立，即，恒成立，当时，要使不等式恒成立，则有；当时，恒成立，即有，在上恒成立，令，必须且只需，由得，则随变化如下：+0单点递增极大值单点递减所以函数在上是增函数，在上是减函数，所以即。灵活掌握“分离参量法”及不等式恒成立的等价形式。例2.已知函数在区间单调递增，求实数的取值范围。【答案】【解析】在区间内恒成立，则在内恒成立，得。练习1. 已知为上单调函数，求实数的取值范围。【答案】【解析】，若为上单调函数，则在上不变号，因为，所以在上恒成立，满足，所以。练习2. 设函数，若对任意恒成立，求实数取值范围。【答案】【解析】对任意恒成立，等价于恒成立，设，则，所以在上单调递减，又在上
4、恒成立，对于，仅在时成立，取值范围是。区间上的单调函数，转化为导数恒成立问题。导数与函数之能成立问题1.不等式能成立问题： 若函数在区间D上存在最小值和最大值，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解。若函数在区间D上不存在最小值和最大值，且值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式或（）在区间D上有解；不等式或（）在区间D上有解；2.已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解；已知区间上的函数不单调，转化为导数在区间上存在变号零点。例1.已知函数，若在区间上至少存在一点，使得成立
5、，求实数取值范围。【答案】【解析】依题意，若在区间上至少存在一点，使得成立，则等价于在上的最小值小于0即可。因为令得。当时，所以在区间上单调递减，故在上的最小值为，得；当时，即，所以在区间上单调递增，故在上的最小值为，与最小值小于0矛盾，故舍去；当时，即，在单调递减，在单调递增，故在上的最小值为，解得与矛盾，故舍去；当时，即，所以在区间上单调递减，故在上的最小值为，得，与矛盾，故舍去。综上可得：实数取值范围为。练习1. 已知函数,若在上存在一点，使得成立，求取值范围。【答案】【解析】依题意设，只需，因为，所以与均大于0，则的符号只与有关，令得（讨论导函数的零点与区间的位置关系）。当时，即，单调
6、递增，得；当时，即，在区间单调递减，在区间单调递增，故，因为，则，故，不满足，故舍去；当时，即，在区间上单调递减，得成立。综上可得：取值范围为。注意不等式能成立问题满足的条件。例2.已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围。【答案】【解析】，令，得，又在区间上不单调，则在存在变号零点，即有或，解得或。综上可得，的取值范围是。练习1.已知函数，若函数在区间上不单调，求实数的取值范围。【答案】【解析】，又在区间上不单调，则在存在变号零点，令，分离自变量与参变量，则，令，由题意知在的值域内。令，则，由，则的取值范围为，经检验时，在区间恒成立，即函数在区间上单调递增，与已知矛盾，故的取值范围为。练习2
7、.已知函数，若函数在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围。【答案】【解析】依题意，有解，转化为不等式在区间上有解，则，令，易知在上为增函数，所以最大值为，所以的取值范围是。注意区分“区间上函数不单调”与“函数在区间上存在单调性”的差异。 导数与函数之零点问题1.已知含参函数存在零点（至少一个零点），求参数范围问题，一般转化为代数问题求解，即对进行参变分离，得到的形式，则所求的范围就是的值域；2.研究函数的零点个数问题，即方程的实根个数问题时，也要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合思想求解。例1. 已知函数处取得极值（1）求实数的值；（2）若关于x的方程在区间0，2上恰有两个不同的实
8、数根，求实数b的取值范围。来源:学【答案】；【解析】 时，取得极值， 故，解得，经检验符合题意，由，知得令则上恰有两个不同的实数根等价于在0，2上恰有两个不同的实根 上单调递增；当上单调递减，依题意，有练习1.设函数当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围。【答案】【解析】，当时，在（1，+）上是增函数；当时，在上递增，在单调递减，所以在上单调递，在上单调递减，又当时，方程有两解。要注重数形结合。例2. 已知是函数的一个极值点，求；求函数的单调区间；若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围【答案】【解析】，是函数的一个极值点，；由得，令，得，和随的变化情况如下：1300增极大值减极小
9、值增的增区间是，；减区间是(1,3)；由知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，又时，；时，；可据此画出函数的草图，由图可知，当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为练习1. 已知函数是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。【答案】【解析】函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。,当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取值范围为练习
10、2.已知函数,记，（1）求的单调区间；（2）若的极值为，问是否存在实数，使方程有四个不同实数根？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】【解析】由（1）知仅当时，在处取得极值，由可得，方程为，令，则，得，则随变化如下：0+00+单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增的增区间是和，减区间是和，的草图如下：所以k的取值范围为 。 注重分离参量的思想。导数综合例1. 已知函数，求函数的单调区间和极值；已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当，如果，且，证明:.【答案】在()内是增函数，在()内是减函数,极大值.【解析】，令=0,得.当变化时，的变化情况如下表:(
11、)1()+0-极大值在()内是增函数，在()内是减函数；极大值.证明：由题意可知，.令，则,当时，,从而,从而在1,+)是增函数。又F(1)= ,即.证明：若若根据得由可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由可知函数在区间（，1）内是增函数，所以,即.练习1. 已知函数求函数的单调区间和极值；已知函数对任意满足，证明：当时，如果，且，证明：【答案】在内是增函数，在内是减函数, 取得极大值.【解析】=，=.令=0，解得.当变化时，的变化情况如下表:20极大值在内是增函数，在内是减函数.当时，取得极大值=.证明：,则=.当时，0，3，从而0，0，在是增函数. 证明：在内是增函数，在内是减函数.当
12、，且，、不可能在同一单调区间内.不妨设，由可知，又，.，.，且在区间内为增函数，即练习2. 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的范围；（3）方程有三个不同的实数解，求实数的范围【答案】；。【解析】（1）,当时，上为增函数,故,当上为减函数,故,即,;（2）方程化为，令，,记;（3）方程化为,因为，令，则方程化为（）方程有三个不同的实数解，由的图像知，有两个根、，且或，记，则或。导数与不等式证明相结合的题型，难度大，综合考点复杂，要灵活运用相关知识点解题。例2. 已知函数，（1）若，求的单调区间；（2）对于任意的，比较与的大小，并说明理由【答案
13、】（1）当时，的递增区间为，当时，的递增区间为，当时，的递增区间为，递减区间为；（2）。【解析】（1）， 当时，在上恒成立，的递增区间为； 当时，的递增区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为；（2）令， ，令，在上恒成立， 当时，成立，在上恒成立， 在上单调递增，当时，恒成立，当时，恒成立， 对于任意的时，又，即。练习1.已知函数讨论的单调性；设，证明：当时，；若函数的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：.【答案】（1）若单调增加，单调增加，在单调减少；（2）略；（3）略。【解析】若单调增加，若且当所以单调增加，在单调减少.设函数则，当，故当，由可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由得从而由知， 导数与其它综合问题是难点中难点，综合运用各学科相关知识点。导数在研究函数的单调性、极值与最值方面的应用，其试题特点是将导数内容和函数、三角函数、不等式等内容有机地结合，加强了对分类讨论、数形结合、变量代换、函数与方程、化归与转化等数学思想及方法与能力的考察。
