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1、高中数学经典的解题技巧和方法（导数及其应用）导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还 是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分 的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、 更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。首先，解答导数及其应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1. 导数概念及其几何意义（1
2、） 了解导数概念的实际背景。（2） 理解导数的几何意义。2. 导数的运算（1） 能根据导数定义求函数的导数。（2） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3） 能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。3. 导数在研究函数中的应用（1） 了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多 项式函数一般不超过三次）。（2） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。4. 生活中的优化问题会利
3、用导数解决某些实际问题5. 定积分与微积分基本定理（1） 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2） 了解微积分基本定理的含义。好了，搞清楚了导数及其应用的基本内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。一、利用导数研究曲线的切线考情聚焦：1利用导数研究曲线 的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。14更对资料加清华园qq34007356182常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式 出现，属容易题。解题技巧：1导数的几何意义函数在处的导数的几何意义是：曲线 在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函
4、数对时间的导数）。2求曲线切线方程的步骤：（1） 求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2） 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 。注：当曲线在点处的切线平行于 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。例 1：（2010 海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选 A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选 A.
5、二、利用导数研究导数的单调性考情聚焦：1导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。2常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式 结构，多以解答题形式考查，属中高档题目。解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1） 确定函数的定义域；（2） 求导数；更对资料加清华园qq3400735618（3） 若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式0或0。若已知的单调性，则转化为不等式 0 或0 在单调区间上恒成立问题求解。例 2：（2010山东高考文科21）已知函数（1） 当时，求曲线在点处
6、的切线方程；（2） 当时，讨论的单调性.【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨 论思想、数形结合思想和等价变换思想.【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.【规范解答】（1） 当所以 因此， ,即曲线又所以曲线（2）因为 ,所以,令（1） 当时，所以当时，0，此时 ，函数单调递减； 当时，0，此时 ，函数单调递增.（2） 当时，由，即，解得. 当时，恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时，时，,此时,函数单调递减 时，0,此时,函数单调
7、递增时，此时，函数单调递减 当时，由于,时，,此时,函数单调递减： 时，1 时，2x-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数。又F(1)= F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).()证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（ ）可知，,则=，所以,从而 .因为， 所以，又由（ ）可知函数 f(x)在区间（-，1）内是增函数，所以 ,即2。四、利用导数研究函数的图象考情聚焦：1该考向由于能很好地综合考查函数的单调性、极值（最值）、零点及数形结合思想等重要考点，而成为近几年高考命题专家的新宠。2常与函数的其他性质、方程、不等式、解析几何知识交汇命题，且函数一般为含参数的高次、
8、分式、 指、对数式结构，多以解答题中压轴部分出现。属于较难题。例 4：（2010福建高考理科20）( )已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线 C.（i）求函数 f(x)的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数 x1，曲线 C 与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点 P2（x2,f(x2).曲线C 与其在点P2 处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段 P1P2,P2P3 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为更对资料加清华园qq3400735618S1,S2，则为定值：（ ）对于一般的三次函数 g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于( )(ii)
9、的正确命题，并予以证明。【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解 能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明。【规范解答】（ ) (i)令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)，因此过点的切线方程为：，即，由 得，所以或，故，进而有，用 代替，重复上面的计算，可得和，又，因此有。（ ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线 ，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于 的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点 ，线段、与曲线 所围成面积为 ， 则。【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，因此过点的切线方程为：，联立，得到：，化简：得到从而所以同样运用(i)中方法便可以得到所以。【方法技巧】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、 最值等问题，
