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1、基于 matlab 的倒立摆的仿真与设计姓名:贾永伟 专业:测控技术与仪器 学号:1123105950 年级:2011 级摘要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其 PID 控制方法，设计出相应的 PID 控制器，并将控制过程在 MATLAB 上加以仿真。 关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB 仿真1、倒立摆模型的研究意义倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检
2、验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制都有重要意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。二、 倒立摆模型的数学建模质量为 m 的小球固结于长度为 L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为 M 的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力 F（包括大小和方向）能够使细杆处于 0 的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推
3、导小车倒立摆系统的数学模型分析过程如下： 如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。 现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析： （1）对小车有： F-Fsin= Mx （a）（2）对小球有： 水平方向上运动为 x+lsin故水平方向受力为 F sin= m（x+lsin ） =m（x+lcos )= mx+mlcos-mlsin()2 （b）由（a） 、 （b）两式得 F= (M+m)x +mlcos-mlsin()2 小球垂直方向上位移为 lcos故受力为 Fcos -mg=m(lcos)=-mlsin
4、-mlcos()2 即 Fcos=mg-ml sin-mlcos()2 （c）由（b） 、 （c）两式得cosx =gsin- l 故可得以下运动方程组：F= (M+m)x +mlcos-mlsin()2 cosx =gsin- l以上方程组为非线性方程组，故需做如下线性化处理：32sin,cos1!当 很小时，由 cos、sin 的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得 cos1，sin ， 0故线性化后运动方程组简化为F= (M+m)x +ml x =g- l下面进行系统状态空间方程的求解：以摆角 、角速度 、小车位移 x、加速度 x为系统状态变量， Y 为输出，F 为输入即 X= = Y=
5、 = 4321xx31由线性化后运动方程组得x1=x2 x2= = x1- FMlgml1X3 =x=x4 x4=x=- x1+ F 故空间状态方程如下：X= = + F 4321x001010Mmgl 432xMl10Y= = + 0 F31x04321x用 MATLAB 将状态方程转化成传递函数，取 M=2kg m=0.1kg l=0.5m 代入得A=0 1 0 0;20.58 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0B=0;-1;0;0.5C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0 num,den=ss2tf(A,B,C,D,1); num,den=ss2tf(A,B,C,D
6、,1)num =0 -0.0000 -1.0000 0 00 -0.0000 0.5000 -0.0000 -9.8000den = 1.0000 0 -20.5800 0 0由上可以得出角度 对力 F 的传递函数：位移 X 对外力 F 的传递函数： 3、用 MATLAB 的 Simulink 仿真系统进行建模1、没校正之前的 -F 控制系统 58.201)(sF242.950)(ssXTransfer Fcn-s 2s +-20.58s 4 2 ScopePulseGeneratorConstant1Transfer Fcn-s 2+-20.58s 4 2 ScopePulseGenerat
7、orConstant1由于未加进控制环节，故系统输出发散2、加进控制环节，实现时域的稳定控制给系统加入 PID 控制，设置系统稳定值为 0，给系统一个初始干扰冲击信号采用试凑法不断调整 PID 参数，使系统达到所需的控制效果当系统 Kp=-100，Ti=Td=0 时输出如下：Transfer Fcn-1s +-20.582 ScopePulseGeneratorIntegrator1sGain3-40Gain11Gain-K-Derivativedu/dtConstant0Transfer Fcn-1s +-20.582 ScopePulseGeneratorIntegrator1sGain3
8、-40Gain11Gain-K-Derivativedu/dtConstant0不断地调整参数，最后得到稳定的响应 Kp=-1000，Ti=1，Td=-40 时可见调整好参数后，系统基本达到稳定，净差基本为 0，超调较小，响应时间较小。再微调后，得到最终的响应曲线响应时间较小，Tp=0.2s3、时域达到稳定后，进行离散化分析离散模型系统控制框图如下当 Kp=-100，Ti=0，Td=0 时输出 ：发散，需加大 Kp、增加 Ti 、Td 控制Zero-OrderHold Transfer Fcn-1s +-20.582 ScopePulseGeneratorGain3-K-Gain1-2Gain
9、-K-Discrete Filter1 1-z -1Discrete FIR Filter1-z -11Constant0Kp=-100，Ti=-2，Td=-1000 时输出：仍需要调节 PID，由图可知超调仍大，响应时间稍长，故微增加 Kp、Ti、Td反复试凑 PID 参数后，得到较好的响应曲线如下（Kp=-110，Ti=-4，Td=-1500 时）可见调整好参数后，系统基本达到稳定，净差基本为 0，超调较小，响应时间较小。再微调后，得到最终的响应曲线响应时间较小，Tp=0.5s。 至此，离散域的控制顺利实现四、实验总结与分析1、本实验，从数学建模到仿真系统的搭建，再到加进控制环节进行实时控
10、制，最后得出结果的过程中，参考了大量的资料，通过对比整合，设计出了适合自己的一套实验方法：倒立摆数学模型推导部分：首先用牛顿欧拉方法建立数学模型，接着用动态系统空间状态方程法导出状态方程系数矩阵，然后用MATLAB 对数学模型进行从状态空间到传递函数的变换（包括传递函数的拉氏变换与 Z 变换） ，得到系统的传递函数模型。接着根据数学建模得出的传递函数进行系统模型的搭建，在 Simulink 软件上进行系统仿真，采用最为广泛的PID 控制算法，先用连续系统的设计方法设计出模拟控制器，然后在满足一定条件下，对其进行离散化处理，(采用加零阶保持器的 Z 变换法)形成数字控制器。接着进行 PID 参数
11、整定，利用试凑法,根据 PID 控制器各组成环节对系统性能的影响，从一组初始 PID 参数开始反复试凑，直至获得，满意的控制效果。此实验中，系统的控制非常稳定，性能较好。2、由实验中可知，倒立摆系统是一个非线性的较复杂的不稳定系统，故要满足稳定性要求，就得对系统进行线性化近似和稳定控制。本实验中，在做了线性化和加进控制调整后，系统达到了良好的稳定状态。当然，这只是一个理想模型，在实际应用中情况会更加复杂，稳定性也更难获得。不过，通过实验，我们至少掌握了简单控制的基本方法，并得到了预期的实验效果。3、通过本实验，掌握了倒立摆仿真的整个过程，熟悉了 MATLAB 的仿真软件Simulink 的使用
12、，也对系统控制有了较好的理解。作为本次实验的组长，自己更是从中掌握了合作实验开展中的一般步骤，对小组进行分工，掌握实验的主体线路。此次实验中，自始至终发挥了组长的作用，从建模到最后的仿真调试，都秉着认真负责的态度完成了倒立摆仿真研究。4、此外，通过仿真，再次认识到了自动控制在改善系统性能方面的重要性，并激发了良好的关于系统控制方面的学习兴趣，在此基础上，相信对以后的进一步研究将会有较大帮助。五 、 参 考 文 献1黄坚.自动控制原理及其应用M.北京：高等教育出版社，2004.1 2孙德宝.自动控制原理M.北京：化学工业出版社，2002.7 3胡寿松.自动控制原理（第四版）M.北京：科学出版社，2001.2 4周伯敏.自动控制理论M.北京：机械工业出版社，1999.15夏德钤，翁贻芳.自动控制理论M.北京：机械工业出版社，2004.16刘时鹏.MATLAB 环境下直线单级倒立摆系统实时控制实验的研究与设计R.重庆大学自动化学院,2004.6
