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2 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台 一 旋转体的体积 3 旋转体的体积为 4 解 直线方程为 5 6 解 7 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 旋转体 旋转椭球体 的体积 体积元素为 于是所求旋转椭球体的体积为 dV y2dx 例3计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的 解这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 V y2dx a2 x2 dx a2x x3 ab2 8 9 解 10 11 补充 利用这个公式 可知上例中 12 解 体积元素为 13 二 平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体 但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积 那么 这个立体的体积也可用定积分来计算 立体体积 14 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 15 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 16 旋转体的体积 平行截面面积为已知的立体的体积 绕轴旋转一周 绕轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周 三 小结 17 思考题 18 思考题解答 交点 立体体积 19 练习题 20 21 22 练习题答案
