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1、 1 傅里叶变换 上海大学机自学院 2 上一章 线性时不变系统的时域分析 回顾 上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务 也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下 系统在时域中将产生什么样响应的问题 之所以称为时域分析 是由于在系统分析的过程中 所涉及的函数变量均为时间t 故这一方法称之为 时域分析法 该方法比较直观 物理概念清楚 是学习各种变换域分析法的基础 主要内容 可概括为如下几个方面 1 时域分析的基本概念系统时域响应的概念和四种主要响应形式 2 离散系统的时域分析差分和差分方程的含义和建立 差分方程的经典解法 以及各种响应的具体求解 3 单位冲击响应与单位样值响应单位冲击响应和单位
2、样值响应的概念和实质 通过微分方程或差分方程的求解方法 4 卷积积分卷积积分的基本概念和意义 采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤 卷积积分的重要性质 5 卷积和卷积和的基本概念和意义 通过定义 性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的方法和步骤 3 第三章主要内容 3 1信号分解为正交函数 一般了解 3 2傅里叶级数3 3周期信号的频谱3 4非周期信号的频谱 傅里叶变换 3 5傅里叶变换的性质3 6卷积定理3 7周期信号的傅里叶变换3 8 抽样信号的傅里叶变换与取样定理 4 时域分析 时域分析的要点是 以冲激信号或单位信号为基本信号 任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数 且 对于连
3、续时间系统对于离散时间系统在本章的分析中 所指的信号和系统均为连续时间信号和连续时间系统 5 变换域 变换域一般指 频域 S域和Z域 也就是通过各种数学变换 将时域的信号与系统变换到频域 S域和Z域中进行分析和观察 这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算 更主要的是 可以观察到信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性 从而可以多角度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握 采用变换域分析的目的 主要是简化分析 这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性 从而便于研究信号的传输和处理问题 6 由于这里用于系统分析的独立变量是频率 故称为频域分析 任意周期信号
4、可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和 本章以正弦函数或 虚指数函数 为基本信号 任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分 7 信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号 使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合 3 1信号分解为正交函数 8 矢量正交集 矢量正交的定义矢量和内积为零 即矢量正交集 指由两两正交的矢量组成的矢量集合 如三维空间中 所组成的集合就是矢量正交集 且完备 矢量表示为 矢量正交分解的概念可以推广到信号空间 在信号空间找到若干个相互正交的信
5、号作为基本信号 使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合 9 2 正交函数集在区间上的n个函数 非零 其中任意两个均满足为常数 则称函数集为区间内的正交函数集 1 正交函数在区间上定义的非零实函数和若满足条件则函数与为在区间的正交函数 正交函数集 10 完备正交函数集 11 由积分可知 三角函数集 12 复指数函数集 13 信号分解为正交函数 14 根据最小均方误差原则 可推出 式中 15 将周期信号 在区间 内展开成完 备正交信号空间中的无穷级数 如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集 那么 周期信号所展开的无穷级数就分别称为 三角形傅里叶级数 或 指数形傅里叶级数 统称为傅里
6、叶级数 3 2傅里叶级数 16 设有一个周期信号它的周期是 角频率它可分解为 一 周期信号的分解 其中称为傅里叶系数 17 傅里叶系数如何求得 式中 18 由上式可见 是的偶函数 是的奇函数 19 则有 20 一般而言称为次谐波 是次谐波的振幅 是其初相角 可见 任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量 一次谐波或基波 它的角频率与原周期信号相同 二次谐波 以此类推 三次 四次等谐波 21 狄里赫利条件 1 在一周期内 间断点的数目有限 2 在一周期内 极大 极小值的数目有限 3 在一周期内 电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件 当f t 满足狄里赫利条件时 才存在 22 结论
7、 周期信号可分解为各次谐波分量之和 一般而言称为次谐波 是次谐波的振幅 是其初相角 23 解 例3 2 1将下图中的方波信号展开为傅里叶级数 24 25 26 它仅含有一 三 五 七 等奇次谐波分量 如下页图所示 是用有限项傅里叶级数来逼近的情况 27 28 1 所取项愈多 合成波形 除间断点外 愈接近于原方波信号 2 所取项数愈多 在间断点附近 尖峰愈靠近间断点 3 即使 在间断点处尖峰仍不能与之吻合 有的偏差 但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别 吉布斯现象 29 若给定的有某些特点 那么 有些傅里叶系数将等于零从而使计算较为简便 1 为偶函数 则有 波形对称于纵坐标 二 奇
8、偶函数的傅里叶系数 30 从而有 31 32 进而有 这时有 33 实际上 任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分 其中 一个函数是奇函数还是偶函数不仅与其波形有关 而且与原点的选择有关 34 此时傅里叶级数展开式中将只含奇次谐波分量 而不含有偶次谐波分量 即 3 为奇谐函数 35 例3 2 2 例 周期矩形信号如图所示 若重复频率 5KHz 脉宽为20微妙 幅度 10V 求傅立叶级数展开的直流分量大小 以及基波 二次谐波和三次谐波的有效值 36 解 因为为偶函数 所以 故只有直流分量和余弦分量 并有 利用公式求解如下 直流分量 所以直流分量为n次谐波系数 其有效值为 37 将代入上式 得基波
9、有效值为 同理当和时 得二次和三次谐波的有效值分别为 38 讨论关于n的奇偶性 是n的偶函数 是n的奇函数 39 将上式第三项中的用代换 并考虑到是的偶函数 即 是的奇函数 则上式可写为 三 傅里叶级数的指数形式 40 如将上式中的写成 则上式可以写成 41 令复数量 称其为复傅里叶系数 简称傅里叶系数 其模为 相角为 则得傅里叶级数的指数形式为 42 复傅里叶系数 43 44 与互为共轭 与的关系 45 三角形式傅里叶级数 46 指数形式傅里叶级数 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和 47 复傅里叶系数与 的关系 48 3 3周期信号的频谱 为了能既方便又明白地表
10、示一个信号中包含有哪些频率分量 各分量所占的比重怎样 就采用了称为频谱图的表示方法 一 频谱图的概念 已知周期信号f t 可用傅里叶级数来表示 或 49 如果将 的关系绘成下面的线图 便可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位 分别称为幅度谱和相位谱 单边 如果将 的关系绘成下面的线图 同样可清楚而直观地看出各频率分量的相对大小及各分量的相位 也分别称为幅度谱和相位谱 双边 50 频谱图 幅度频谱 相位频谱 离散谱 谱线 51 周期信号采用指数形式展开后的频谱 因Fn一般为复数 称为复数频谱 图3 2周期信号的复数频谱 52 例3 3 1 试画出f t 的振幅谱和相位谱 解f t
11、为周期信号 题中所给的f t 表达式可视为f t 的傅里叶级数展开式 据 可知 其基波频率 rad s 基本周期T 2s 2 3 6 分别为二 三 六次谐波频率 且有 53 其余 54 图3 3 1 a 振幅谱 b 相位谱 55 图3 3 2信号的双边频谱 a 振幅谱 b 相位谱 56 二 周期矩形脉冲的频谱 设有一幅度为E 脉冲宽度为的周期性矩形脉冲 其周期为 求其复傅里叶系数 图3 3 3周期矩形脉冲 57 58 取样函数 1 它是偶函数 2 当时 3 当时 函数值为0 它是无限拖尾的衰减振荡 59 该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为 图3 3 4周期矩形脉冲的频谱 T 4 60
12、 第一个零点时谱线的序号 零点的位置 相邻谱线的间隔 第一个零点的位置 61 由上图可以看出 此周期信号频谱具有以下几个特点 第一为离散性 此频谱由不连续的谱线组成 每一条谱线代表一个正弦分量 所以此频谱称为不连续谱或离散谱 第二为谐波性 此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率w1的整数倍频率上 即含有w1的各次谐波分量 而决不含有非w1的谐波分量 第三为收敛性 此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nw1的变化有起伏变化 但总的趋势是随着nw1的增大而逐渐减小 当nw1 时 Fn 0 62 前已指出 当周期趋于无限大时 相邻谱线的间隔趋近于无穷小 从而信号的频谱密集成为连续频谱 同时 各频率分量的幅
13、度也都趋近于无穷小 不过 这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系 为了描述非周期信号的频谱特性 引入频谱密度的概念 令 一 傅里叶变换 3 4非周期信号的频谱 称为频谱密度函数 63 当周期T1趋近于无限大时 w1趋近于无穷小 取其为 而将趋近于 nw1是变量 当时 它是离散值 当w1趋近于无限小时 它就成为连续变量 取为 求和符号改为积分 如何求频谱密度函数 由式可得 64 成为 1 式称为函数的傅里叶变换 2 式称为函数的傅里叶逆变换 称为的频谱密度函数或频谱函数 称为的原函数 简记为 65 与周期信号的傅里叶级数相类似 在f t 是实函数时 F 与R X 相互之间存在下列关系 66 在f
14、t 是实函数时 1 若f t 为t的偶函数 即f t f t 则f t 的频谱函数F j 为 的实函数 且为 的偶函数 2 若f t 为t的奇函数 即f t f t 则f t 的频谱函数F 为 的虚函数 且为 的奇函数 结论 67 例3 4 1下图所示为门函数 或称矩形脉冲 用符号表示 其宽度为 幅度为 求其频谱函数 二 典型信号的傅里叶变换 68 解 如图所示的门函数可表示为 其频谱函数为 69 图3 4 1门函数及其频谱 一般而言 信号的频谱函数需要用幅度谱和相位谱两个图形才能将它完全表示出来 但如果频谱函数是实函数或虚函数 那么只用一条曲线即可 为负代表相位为 为正代表相位为0 70 由
15、图可见 第一个零值的角频率为 频率 当脉冲宽度减小时 第一个零值频率也相应增高 对于矩形脉冲 常取从零频率到第一个零值频率之间的频段为信号的频带宽度 这样 门函数的带宽 脉冲宽度越窄 其占有的频带越宽 时域越窄 频域越宽 71 例3 4 2求单边指数函数的频谱函数 72 这是一复函数 将它分为模和相角两部分 73 幅度谱和相位谱 频谱图如下图所示 74 例3 4 3求下图所示双边指数信号的频谱函数 解 上图所示的信号可表示为 或者写为 75 将代入到式 可得其频谱函数为 76 其频谱图如下所示 实偶 实偶 77 例3 4 4求下图所示信号的频谱函数 78 79 其频谱图如下图所示 实奇 虚奇
16、80 例3 4 5求冲激函数的频谱 即单位冲激函数的频谱是常数 如下图所示 其频谱密度在区间处处相等 常称为 均匀谱 或 白色频谱 81 冲激函数一阶导数的频谱函数为 按冲激函数导数的定义 可知 82 例3 4 6求单位直流信号的频谱 83 所以 84 图3 4 7求 1 的极限过程 85 例3 4 7求符号函数的频谱 符号函数定义为 86 则它的频谱函数也是的频谱函数 当时的极限 我们已知的频谱函数为 它是的奇函数 在处 因此 当趋近于零时 有 87 它在处的值等于零 88 例3 4 8求阶跃函数的频谱 对上式两边进行傅里叶变换 得 89 90 important 91 表常用傅里叶变换对 92 续表 93 思考题 1 为什么要对信号进行变换域分析 为什么要进行傅立叶变换 2 幅频特性和相频特性代表的是什么含义 意义何在 预习内容 傅立叶变换的性质 具体内容包括 线形特性 奇偶特性 对称特性 尺度变换性 时移特性 频移特性 微分特性 积分特性 94 1 频域分析与频谱的基本概念 2 任意的周期信号 可以用傅立叶级数进行展开 并具有 三角形式 和 复指数形式 的两种形式 三角形式 复指
