《同济材料力学-顾志荣-第八章---弯曲变形教学文稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济材料力学-顾志荣-第八章---弯曲变形教学文稿（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 材料力学 讲授 顾志荣 插个小广告 更多同济土木考研资料请联系QQ 1715333961 同济大学航空航天与力学学院顾志荣 第八章弯曲变形 材料力学 研究弯曲变形的目的 1 刚度计算 2 解简单的超静定梁 本章的基本内容 一 弯曲变形的量度及符号规定 二 挠曲线及其近似微分方程三 计算弯曲变形的两种方法 1 积分法 2 叠加法四 刚度条件提高梁弯曲刚度的措施五 用变形比较法解简单的超静定梁 第八章弯曲变形 一 弯曲变形的量度及符号规定 第八章弯曲变形 梁的挠度和转角 1 度量弯曲变形的两个量 1 挠度 梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移 称为挠度 工程上的一般忽略水平线位移 2
2、转角 梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移 称为转角 第八章弯曲变形 一 弯曲变形的量度及符号规定 梁的挠度和转角 2 挠度的符号规定 向上为正 向下为负 2 符号规定 1 坐标系的建立 坐标原点一般设在梁的左端 并规定 以变形前的梁轴线为x轴 向右为正 以y轴代表曲线的纵坐标 挠度 向上为正 3 转角的符号规定 逆时针转向的转角为正 顺时针转向的转角为负 W 第八章弯曲变形 一 弯曲变形的量度及符号规定 第八章弯曲变形 二 挠曲线及其近似微分方程 1 挠曲线 在平面弯曲的情况下 梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线 这条曲线称为挠曲线 弯曲后梁的轴线 挠曲线 第八章弯曲变
3、形 二 挠曲线及其近似微分方程 MAB MCD 0 MBC const 答案D 2 挠曲线的特征 光滑连续曲线 1 2 挠曲线的特征 光滑连续曲线 2 FA 0FB 0 MCD const 答案D 2 挠曲线的特征 光滑连续曲线 3 FA 0 MBD const FB P 答案C 力学公式 数学公式 横力弯曲 l h 5 3 挠曲线的近似微分方程 1 曲率与弯矩 抗弯刚度的关系 小挠度情形下 此即弹性曲线的小挠度微分方程 max 0 01 0 001 l 2 2 挠曲线近似微分方程符号及近似解释 近似解释 1 忽略了剪力的影响 2 由于小变形 略去了曲线方程中的高次项 2 2 3 选用不同坐标
4、系下的挠曲线近似微分方程 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 1 积分法 基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤 1 建立坐标系 一般 坐标原点设在梁的左端 求支座反力 分段列弯矩方程 分段的原则 凡载荷有突变处 包括中间支座 应作为分段点 凡截面有变化处 或材料有变化处 应作为分段点 中间铰视为两个梁段间的联系 此种联系体现为两部分之间的相互作用力 故应作为分段点 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 2 分段列出梁的挠曲线近似微分方程 并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次 得转角方程 再积分一次 得挠曲线方程 第八章弯曲变形 三
5、 计算弯曲变形的两种方法 3 利用边界条件 连续条件确定积分常数 积分常数的数目 取决于的分段数M x n段积分常数 2n个举例 分2段 则积分常数2x2 4个 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 积分常数的确定 边界条件和连续条件 边界条件 梁在其支承处的挠度或转角是已知的 这样的已知条件称为边界条件 连续条件 梁的挠曲线是一条连续 光滑 平坦的曲线 因此 在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值 这样的已知条件称为连续条件 边界条件积分常数2n个 2n个连续条件 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 边界条件 连续条件 例题 列出图示结构的边界条件和连续条件 第八章弯
6、曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 例题 列出图示结构的边界条件和连续条件 解 边界条件 连续条件 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 积分常数的物理意义和几何意义 物理意义 将x 0代入转角方程和挠曲线方程 得即坐标原点处梁的转角 它的EI倍就是积分常数C 即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D 几何意义 C 转角D 挠度 4 建立转角方程和挠曲线方程 5 计算指定截面的转角和挠度值 特别注意和及其所在截面 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 例题悬臂梁受力如图所示 求和 取参考坐标系Axy 解 1 列出梁的弯矩方程 2 积分一次 积分二次 1 2 第八章弯曲变形 三 计
7、算弯曲变形的两种方法 3 确定常数C D 由边界条件 代入 1 得 代入 2 得 代入 1 2 得 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 与C比较知 与D比较知 常数C表示起始截面的转角 刚度 EI 因此 常数D表示起始截面的挠度 刚度 EI 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 例题一简支梁受力如图所示 试求和 解 1 求支座反力 2 分段列出梁的弯矩方程 BC段 AC段 B 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 BC段 AC段 3 确定常数 由边界条件 1 2 由光滑连续条件 3 4 可解得 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 则简支梁的转角方程和挠度方程为 BC
8、段 AC段 4 求转角 代入得 代入得 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 5 求 求得的位置值x 则由 解得 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 代入得 若则 在简支梁情况下 不管F作用在何处 支承除外 可用中间挠度代替 其误差不大 不超过3 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 积分法求梁变形举例 用积分法求图示梁的 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 分段建立弯矩方程 AB段 0 x1 BC段 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 二 分段建立近似微分方程 并对其积分两次 AB段 即 1 2 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 BC段 3 4
9、第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 三 利用边界条件 连续条件确定积分常数由边界条件确定C1 D1 当当 时 由 1 式得C1 0 时 由 2 式得D1 0 由连续条件确定C2 D2 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 当 时 即联立 1 3 式子 当 时 即联立 2 4 式 即得 D2 0 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 四 分段建立转角方程 挠曲线方程 AB段 5 6 BC段 7 8 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 五 求梁指定截面上的转角和挠度当 时 由 5 式得 由 6 式得 当 时 由 7 式得 由 8 式得 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的
10、两种方法 叠加法前提 小变形 力与位移之间的线性关系 挠度 转角与载荷 如P q M 均为一次线性关系 轴向位移忽略不计 2 叠加法 简捷方法 须记住梁在简单荷载作用下的变形 挠曲线方程 转角 挠度计算公式 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 叠加法的两种处理方法 1 荷载叠加 叠加原理 在小变形和线弹性范围内 由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角 应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和 第八章弯曲变形 三 计算弯曲变形的两种方法 例题怎样用叠加法确定 C和wC 2 逐段刚化法 例题 试用叠加法求图示阶梯形变截面悬臂梁自由端C的挠度 由于梁的抗弯刚度EI在B处
11、不连续 若由挠曲线微分方程积分求解 须分段进行 工作量较大 可用叠加法求解 由梁的变形连续条件 直线BC因AB段的弯曲变形而移位到的位置 使C点有相应的挠度 将图 b 和 c 两种情况的变形叠加后 即可求得自由端C的挠度 这种分析方法叫做梁的逐段刚化法 例题 用叠加法求AB梁上E处的挠度 wE wE1 wE2 wE1 wB 2 wB wB wB1 wB2 wB3 WB2 CC WB3 C C 第八章弯曲变形 四 刚度条件提高梁弯曲刚度的措施 刚度条件 w 许用挠度 许用转角 工程中 w 常用梁的计算跨度l的若干分之一表示 例如 对于桥式起重机梁 对于一般用途的轴 在安装齿轮或滑动轴承处 许用转
12、角为 第八章弯曲变形 四 刚度条件提高梁弯曲刚度的措施 梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外 还取决于以下因素 材料 梁的变形与弹性模量E成反比 截面 梁的变形与截面的惯性矩成反比 跨长 梁的变形与跨长l的n次幂成正比 第八章弯曲变形 四 刚度条件提高梁弯曲刚度的措施 1 减小跨度 增加支座 或加固支座 例如受q作用的简支梁 方法 增加支座 第八章弯曲变形 四 刚度条件提高梁弯曲刚度的措施 加固支座 2 选用合理截面 常采用工字形 箱形截面 以提高惯性矩 与强度不同的是要提高全梁或大部分梁的惯性矩 才能使梁的变形有明显改善 3 合理安排载荷作用点 以降低 方法 使载荷尽量靠近支座 载荷大多数由支
13、座承担 例如 4 其它 因钢的E基本相同 所以材料的杨氏模量对变形影响不大 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 1 超静定的概念2 用变形比较法解简单超静定梁的基本思想 1 解除多余约束 变超静定梁为静定梁 2 用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较 建立协调方程 3 通过协调方程 即补充方程 求出多余的约束反力 3 简单超静定梁求解举列 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 超静梁 未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目 仅利用平衡方程不能解出全部未知力 则称为超静定问题 或静不定问题 超静次数 未知力的数目 独立平衡方程数 4个约束反力 3个平衡方程 静不定次数
14、 1 1 超静定的概念 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 2 用变形比较法解简单超静定梁的基本思想 1 确定超静定次数 2 选择基本静定梁 静定梁 基本静定基 将超静定梁的多余约束解除 得到相应的静定系统 该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以及内力 多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束或多余杆件 多余约束的数目 超静定次数 多余约束的数目 1 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 静定梁 基本静定基 选取 2 解除A端阻止转动的支座反力矩作为多余约束 即选择两端简支的梁作为基本静定梁 A 1 解除B支座的约束 以代替 即选择A端固定B端自由的悬臂梁作
15、为基本静定梁 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 2 基本静定基要便于计算 即要有利于建立变形协调条件 一般来说 求解变形时 悬臂梁最为简单 其次是简支梁 最后为外伸梁 基本静定基选取可遵循的原则 1 基本静定基必须能维持静力平衡 且为几何不变系统 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 A 3 列出变形协调条件 比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形 根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的要求 得到变形协调条件 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 本例 1 4 用积分法或叠加法求变形 并求出多余未知力 仅有q作用 B点挠度为 仅有作用 B点挠度为
16、因此 解得 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 5 根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力 本例 1 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 因此 6 在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力 应力和变形 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 例题图示静不定梁 等截面梁AC的抗弯刚度EI 拉杆BD的抗拉刚度EA 在F力作用下 试求BD杆的拉力和截面C的挠度 1 选择基本静定梁 解 2 列出变形协调条件 而 1 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 解得 代入 1 3 在基本静定梁上由叠加法求 在F力单独作用下 在力单独作用下 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 解得 在本例中 在F力作用下 拉杆BD伸长 因而B处下移 B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量 即 第八章弯曲变形 五 用变形比较法解简单超静定梁 例题图示结构 悬臂梁AB与简支梁DG均用No 18工字钢制成 BC为圆截面钢杆 直径d 20cm 梁与杆的弹性模量均为E 200GPa 若载荷F 30KN 试计算梁内的最大弯曲正应力与杆内的最大正应力以及横截面C的铅垂位移 第
