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1、题型六二次函数与几何图形综合题 专题二解答重难点题型突破 1 类型一二次函数与图形判定 例1 2017 营口 如图 抛物线y ax2 bx 2的对称轴是直线x 1 与x轴交于A B两点 与y轴交于点C 点A的坐标为 2 0 点P为抛物线上的一个动点 过点P作PD x轴于点D 交直线BC于点E 1 求抛物线解析式 2 若点P在第一象限内 当OD 4PE时 求四边形POBE的面积 2 3 在 2 的条件下 若点M为直线BC上一点 点N为平面直角坐标系内一点 是否存在这样的点M和点N 使得以点B D M N为顶点的四边形是菱形 若存在 直接写出点N的坐标 若不存在 请说明理由 3 4 5 6 7 8
2、 1 求抛物线的解析式 2 若点P的横坐标为m 当m为何值时 以O C P F为顶点的四边形是平行四边形 请说明理由 3 若存在点P 使 PCF 45 请直接写出相应的点P的坐标 9 10 11 12 13 14 对应训练 1 2017 新乡模拟 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 的顶点坐标为Q 2 1 且与y轴交于点C 0 3 与x轴交于A B两点 点A在点B的右侧 点P是该抛物线上的一动点 从点C沿抛物线向点A运动 点P与A不重合 过点P作PD y轴 交AC于点D 1 求该抛物线的解析式 2 当 ADP是直角三角形时 求点P的坐标 15 3 在题 2 的结论下 若点E在x轴上
3、点F在抛物线上 问是否存在以A P E F为顶点的平行四边形 若存在 求点F的坐标 若不存在 请说明理由 1 解 1 抛物线的顶点为Q 2 1 设抛物线的解析式为y a x 2 2 1 将C 0 3 代入上式 得 3 a 0 2 2 1 a 1 y x 2 2 1 即y x2 4x 3 2 分两种情况 当点P1为直角顶点时 点P1与点B重合 令y 0 得x2 4x 3 0 解得x1 1 x2 3 点A在点B的右边 B 1 0 A 3 0 P1 1 0 16 17 设D2 x x 3 P2 x x2 4x 3 则有 x 3 x2 4x 3 0 即x2 5x 6 0 解得x1 2 x2 3 舍去
4、当x 2时 y x2 4x 3 22 4 2 3 1 P2的坐标为P2 2 1 即为抛物线顶点 P点坐标为P1 1 0 P2 2 1 18 19 20 21 22 23 对应训练 1 2017 甘肃 如图 已知二次函数y ax2 bx 4的图象与x轴交于点B 2 0 点C 8 0 与y轴交于点A 1 求二次函数y ax2 bx 4的表达式 2 连接AC AB 若点N在线段BC上运动 不与点B C重合 过点N作NM AC 交AB于点M 当 AMN面积最大时 求N点的坐标 3 连接OM 在 2 的结论下 求OM与AC的数量关系 24 25 26 27 类型三二次函数与线段问题 2015 23 20
5、12 23 2014 23 例4 2015 河南 如图 边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上 以点C为顶点的抛物线经过点A 点P是抛物线上点A C间的一个动点 含端点 过点P作PF BC于点F 点D E的坐标分别为 0 6 4 0 连接PD PE DE 1 请直接写出抛物线的解析式 2 小明探究点P的位置发现 当P与点A或点C重合时 PD与PF的差为定值 进而猜想 对于任意一点P PD与PF的差为定值 请你判断该猜想是否正确 并说明理由 28 3 小明进一步探究得出结论 若将 使 PDE的面积为整数 的点P记作 好点 则存在多个 好点 且使 PDE的周长最小的点P也是一个 好点 请直接写出
6、所有 好点 的个数 并求出 PDE周长最小时 好点 的坐标 29 30 31 32 对应训练 1 2017 赤峰 如图 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象交x轴于A B两点 交y轴于点D 点B的坐标为 3 0 顶点C的坐标为 1 4 33 1 求二次函数的解析式和直线BD的解析式 2 点P是直线BD上的一个动点 过点P作x轴的垂线 交抛物线于点M 当点P在第一象限时 求线段PM长度的最大值 3 在抛物线上是否存在异于B D的点Q 使 BDQ中BD边上的高为2 若存在求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 34 解 1 抛物线的顶点C的坐标为 1 4 可设抛物线解析式为y a x 1 2
7、 4 点B 3 0 在该抛物线的图象上 0 a 3 1 2 4 解得a 1 抛物线解析式为y x 1 2 4 即y x2 2x 3 点D在y轴上 令x 0可得y 3 D点坐标为 0 3 可设直线BD解析式为y kx 3 把B点坐标代入可得3k 3 0 解得k 1 直线BD解析式为y x 3 35 36 37 2 2017 苏州 如图 二次函数y x2 bx c的图象与x轴交于A B两点 与y轴交于点C OB OC 点D在函数图象上 CD x轴 且CD 2 直线l是抛物线的对称轴 E是抛物线的顶点 1 求b c的值 2 如图 连接BE 线段OC上的点F关于直线l的对称点F 恰好在线段BE上 求点
8、F的坐标 38 3 如图 动点P在线段OB上 过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M 与抛物线交于点N 试问 抛物线上是否存在点Q 使得 PQN与 APM的面积相等 且线段NQ的长度最小 如果存在 求出点Q的坐标 如果不存在 说明理由 39 40 2 设点F的坐标为 0 m 对称轴为直线x 1 点F关于直线l的对称点F 的坐标为 2 m 由 1 可知抛物线解析式为y x2 2x 3 x 1 2 4 E 1 4 直线BE经过点B 3 0 E 1 4 利用待定系数法可得直线BE的表达式为y 2x 6 点F在BE上 m 2 2 6 2 即点F的坐标为 0 2 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
