物理第4章机械振动

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1、第4章振动和波动 本章内容 4 1机械振动 4 2机械波 振动有各种不同的形式 机械振动 振动 物理系统受到外界扰动时 系统状态在平衡态附近往复变化 电磁振动 微观振动 如晶格点阵上原子的振动 etc 4 1机械振动 机械运动 广义振动还包括一切具有周期性的运动现象 如 心脏跳动 行星运动etc 1 简谐振动的特征及其运动方程 弹簧振子的运动 取平衡位置为坐标原点 m受力 线性恢复力 F kx 振动方程 取 振子振动状态由m的位置和速度表征 速度 振动方程 振动式 加速度 为积分常数 由初始条件决定 x t Acos t 2 描述简谐振动的特征量 振幅A 代表物体位移的最大值 x t x t

2、T 周期T和频率v 周期T 谐振动某状态重复一次 全振动 所需要的时间 v t v t T 弹簧振子周期 频率 相位 位相 1 t 是t时刻的位相 2 是t 0时刻的位相 初位相 因 决定于谐振子性质 谐振动主要由初位相确定 约定 x t Acos t 初始条件确定A和 注意 由上式和共同确定 3 简谐振动的描述方法 解析法 曲线法 o A A t x 2 T 旋转矢量法 t x x t t t 0 x Acos t o 矢量长度 A 以 为角速度绕o点逆时针旋转 t 0时矢量与x轴的夹角为 矢量端点在x轴上的投影为SHM 解 1 要求物体的简谐运动方程 就需要确定角频率 角频率 已知 振幅

3、根据已知条件作相应的旋转矢量如图 可得 所以 运动方程为 x 0 05mcos 6 0t 的值代入速度公式 可得 负号表示速度的方向沿0 x轴负方向 或 1 动能 4 振动的能量 2 势能 3 机械能 简谐振动系统机械能守恒 图7 12 图7 13 例4 2设地球是一个半径为R的均匀球体 密度 现假定沿直径凿一条隧道 若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动 1 证明此质点的运动是简谐振动 2 计算其周期 解 l 取图所示坐标 当质量为m的质点位于x处时 它受地球的引力为 G为引力常量 mx是以x为半径的球体质量 即 所以 质点作简谐运动 2 质点振动的周期为 例4 3某振动质点的x t曲线

4、如图所示 试求 1 运动方程 2 点P对应的相位 3 到达点P相应位置所需要的时间 解 1 质点振动振幅A 0 10m 而由振动曲线可画出t 0和t 4s时旋转矢量 如图所示 由图可见初相 或 则运动方程为 2 图 a 中点P的位置是质点从A 2处运动到正向的端点处 对应的旋转矢量图如图所示 点P的相位为 3 由旋转关量图可得 则 例4 4质量为0 10kg的物体 以振幅作简谐运动 其最大加速度为 求 1 振动的周期 2 通过平衡位置时动能 3 总能量 4 物体在何处其动能和势能相等 解 1 因 故 得 2 因通过平衡位置时速度为最大 故 将已知数据代入 得 3 总能量 由 得 例4 5 已知

5、SHM A 4cm 0 5Hz t 1s时x 2cm且向x正向运动 写出振动表达式 解 由题意 T 2s 由图 3 t 1s时的振动矢量如图所示 t 0s时的振动矢量方向应为A1矢量前1s时的旋转矢量 即半个周期前 与A1矢量夹角为 如图 例4 6 由x t曲线求振动方程 解 设 x Acos t 4 1 2简谐振动的合成 振动叠加原理 当质点同时受到多个弹性力时 可以认为质点的运动是几个运动的叠加 主要讨论两种叠加形式 1 平行简谐振动叠加 同频率 不同频率 2 垂直简谐振动叠加 同频率 不同频率 1 同方向同频率的简谐振动的合成 分振动 x1 A1cos t 1 合振动 合振动是简谐振动

6、其频率仍为 x Acos t x2 A2cos t 2 设x x1 x2 x Acos t Ax A1cos 1 A2cos 2 由图知 Ay A1sin 1 A2sin 2 A2 Ax2 Ay2 由 两种特殊情况 若两分振动同相 2 1 0 2k k 0 1 2 若两分振动反相 2 1 2k 1 k 0 1 2 如A1 A2 则A 0 则A A1 A2 两分振动相互加强 则A A1 A2 两分振动相互减弱 如A1 A2 则A 2A1 合振动 但当 2 1时 2 1 2 1 x x1 x2 2 同方向不同频率的简谐振动的合成 分振动 x1 Acos 1tx2 Acos 2t 其中 随 缓变 随

7、 快变 合振动可看作振幅缓变的 简谐振动 合振动不是简谐振动 拍 拍频 单位时间内强弱变化的次数 合振动的强弱A2 t 随t变化的现象 拍 beat 设拍周期为Tb 实例 双簧口琴 双簧管 oboe 钢琴 piano 调音 钢琴与标准音叉声波形成拍 拍频越小 说明钢琴的音越准 振动合成 拍 3 垂直方向同频率简谐振动的合成 4 垂直方向不同频率简谐振动的合成 两分振动频率相差很小 2 1 t 2 1 可看作两频率相等而位相差随 缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形 Lissajousfigures x y 3 2 2 0 1 4 两振动的频率成整数比 不同频率垂直简谐振

8、动的合成 李萨如图 END 例4 7有两个同方向同频率的简谐运动 其合振动的振幅为0 20m 合振动 第二个振动的振幅及两振动的相位差 解 采用旋转矢量合成图求解 如图所示 取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox 轴 即令其初相为零 按题意 合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角 根据矢量合成 可得第二个振动的旋转矢量的大小 即振幅 为 由于A1 A2 A的量值恰好满足勾股定理 故A1与A2垂直 即第二个振动与 第一个振动的相位差为 1 阻尼振动 4 1 3阻尼振动受迫振动共振 阻尼振动 振幅随时间减小的振动 阻尼种类 摩擦阻尼辐射阻尼电磁阻尼 原因 振动受到阻力的影响 由于克服阻力做功 振动系统的能量

9、减少 振幅将逐渐减小 1 阻尼振动 当物体以不太大的速率在粘性的介质中运动时 物体受到的阻力与其运动 的速率成正比 方向与运动方向相反 即 C叫做阻尼系数 或 设 则上式可写成 是振动系统的固有角频率 它由系统本身的性质所决定 叫做阻尼系数 三种阻尼振动 式中 欠阻尼 小阻尼 过阻尼 衡位置 完全不可能再作往复运动 临界阻尼 时 物体从开始的最大位移处快速地逼近平衡位置 过阻尼 和临界阻尼 准周期运动 小阻尼 例4 8一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动 开始时其振幅为0 12m 经144s后振幅减为0 06m 问 1 阻尼系数是多少 2 如振幅减至0 03m 需再经历多长时间 解 1 由阻尼震动振幅 得 2 两不同时刻的振幅比 则振幅由A1改变为A2所经历的时间 2 受迫振动 系统受力 弹性力 kx 振动方程 周期性策动力f F0cos t 在外来策动力作用下的振动 其中 阻尼力 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 1 频率 等于策动力的频率 2 振幅 3 初相 3 共振 在一定条件下 振幅出现极大值 出现剧烈振动的现象 共振频率 共振振幅 0则 r 0Ar h 2 0 位移共振 尖锐共振 END