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1、 第3章流体动力学 根据流线定义 速度矢量与流线相切 即速度矢量V与流线上的微元段矢量ds相互重合 即它们的方向余弦相等 B 一维 二维与三维流动 1 流动维数的确定 三维流动 速度场必须表示为三个方向坐标的函数 二维流动 速度场简化为二个空间坐标的函数 一维流动 速度场可表示为一个方向坐标的函数 2 常用的流动简化形式 1 二维流动 平面流动 轴对称流动 2 一维流动 质点沿曲线的流动v v s 流体沿管道的平均速度v v s 3 讨论思考 2 什么情况下只有位移加速度 3 什么情况下两部分加速度都有 4 称为流体的质点导数 迹线与流线的比较 流线由无穷多个质点组成的 它是表示这无穷多个流体
2、质点在某一固定瞬间运动的曲线 迹线则表示在一段时间过程中同一流体质点运动的曲线 流线与迹线方程是不相同的 迹线方程式以时间t为自变量 由此决定其运动轨迹 流线方程式中 时间t是给定量 随时间t不同 流线方程式也不相同 在恒定流中 流线与迹线相重合 即流线和迹线是一致的 没有区别 3 1 1拉格朗日法 拉氏法 拉格朗日法 质点系法 通过研究流体各质点的轨迹 得到整个流体的运动形态 3 1流体运动的描述方法 x x a b c t y y a b c t z z a b c t a b c 质点起始坐标 a b c t 拉格朗日变量 x y z 流场内固定空间点坐标 x y z t 欧拉变量 ux
3、 ux x y z t uy uy x y z t uz uz x y z t p p x y z t 3 1 2欧拉法 流场法 在流动空间的每一个固定空间点上 观察其运动要素随时间的变化 把足够多的固定空间点综合起来 得到整个流体的运动情况 由于空间位置发生变化而产生的加速度 全加速度 由时间变化而引起的固定观察点的速度变化 迁移加速度或位变加速度 当地加速度或时变加速度 假定火车车速为一天走2000km 即u 2000km d 北京到广州的距离假定为2000km 初夏时节北京的气温比广州气温低4 如果有一位旅客于初夏时节沿京广线搭火车北上由广州去北京 乘一天火车到达北京时 他感到的温度变化
4、是多少呢 解 一天的温度变化以dT dt d 表示 假定逐日气温上升率为1 d 例3 1 1 d 4 2000km 旅客抵达北京时 感受到的气温变化是 例3 2 流动场中速度沿流程均匀地增加并随时间均匀地变化 A点和B点相距2m C点在中间 已知t 0时 uA 1m s uB 2m s t 5s时 uA 4m s uB 8m s 写出C点加速度表达式 并求t 0和t 5s时C点地加速度 例 已知速度场 试问 1 t 2s时 在 2 4 点的加速度是多少 2 流动是恒定流还是非恒定流 3 流动是均匀流还是非均匀流 解 以代入 得 3 1 3欧拉法的几个基本概念一 恒定流与非恒定流恒定流 在流场中
5、任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变 即运动要素仅是空间坐标的连续函数 而与时间无关 注意 恒定流中流体质点的当地加速度为零 迁移加速度可以不为零 非恒定流 流场中任何空间点上至少有一个运动要素随时间而变化 二 流线与迹线迹线 一个流体质点在空间运动的轨迹线 运动方程 流线 某一瞬时在流场中给出的线 在这条曲线上所有各流体质点的流速矢量和该曲线相切 流线显示了瞬时的流动方向 流线的基本特性 恒定流时 流线不随时间而变 具有恒定性 非恒定流时 流线随时间而变 具有瞬时性 恒定流时 每个质点的流线形状不变 流线与迹线重合 非恒定流时 流线与迹线不重合 流线不能相交 也不能转折 只能是光滑的曲
6、线 流线方程 根据流线定义 速度矢量与流线相切 即速度矢量V与流线上的微元段矢量ds相互重合 即它们的方向余弦相等 例 已知速度场 式中 a为常数 试求 1 流线方程 2 迹线方程 解 流线的微分方程 积分得 迹线的微分方程 积分得 三 流管 微小流束 总流 过流断面 流量 断面平均流速流管 设想在流场中由无数根流线组成的微小的封闭的管子 流体不可能穿过流管表面流进或流出 微小流束 元流 充满于流管中的流体 微小流束的极限是流线 在恒定流中 流管及相应的元流形状不随时间而变化 在非恒定流中 则反之 总流 由无数微小流束组成的总股流体称为总流 过流断面 与总流或元流的流向相垂直的横断面 流量 单
7、位时间内通过某一过流断面的流体体积称为过流断面的体积流量 简称流量 m3 s 重量流量 质量流量 断面平均流速 四 均匀流 非均匀流 渐变流 急变流均匀流 在流动过程当中 各运动要素不随坐标位置而改变的流动 过水断面的形状 大小 方位沿流程不发生改变的流动 对均匀流 迁移加速度为零 即 均匀流特点 均匀流的流线为平行直线 均匀流过水断面为平面 过水断面形状和尺寸沿程不变 均匀流中同一流线上各点流速均相等 各过水断面上的流速分布相同 断面平均流速和水深沿流程不变 均匀流过水断面上的动水压强分布规律符合静水压强分布规律 同一过水断面上的测压管水头值等于常数 z p c 非均匀流 在流动过程当中 各
8、运动要素随着空间位置而改变的流动 非均匀流按照流线的不平行和弯曲的程度 又分为渐变流和急变流 渐变流 流线之间的夹角很小 流线近乎平行且流线的曲率半径很大 曲率很小 流线近乎直线的流动 急变流 流线之间的夹角很大 或者流线的曲率半径很小的流动 五 一维流 二维流 三维流一维流 恒定流中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关 微小流束是一维流 用断面平均流速 代替实际不均匀分布的点流速的总流 可以视为一维流 二维流 恒定流中任一点的运动要素与两个坐标 平面坐标 有关 例如 水在矩形渠道中的流动 三维流 恒定流中任一点的运动要素与三个空间坐标 x y z轴 有关 例如 空气绕地面建筑物的流动 水在
9、自然河道中的流动等 3 2恒定总流的连续性方程 质量守恒方程 流体是不可压缩的 流体密度 不变 即 1 2 流动为恒定流时 即流管形状不变 没有流体质点穿过流管的侧壁流进或流出 流管内的质量不变 u1dA1dt u2dA2dt得 u1dA1 u2dA2dQ u1dA1 u2dA2对于总流 汇流 Q3 Q1 Q2 分流 Q1 Q2 Q3 3 3恒定总流的能量方程3 3 1理想液体恒定微小流束能量方程推导动能定理 某物体在运动过程中动能的改变等于其在同一时间内所有外力所做的功 动能改变 外力 重力和动水压力 重力做功 水压力做功 微小流束能量方程 如图 为毕托管的测速原理图 为了测定A点的流速 对
10、准A点竖一根测压管 测压管的液面高度为pA 在A点下游相距很近的地方B点 放一根弯成直角且两端开口的细管 测速管 并正对液流 另一端向上 其内的液面高度为pB 试计算A点的流速 例3 4 解 取AB连线所在平面作为基准面 如图所示 矩形明渠 在同一过水断面上有A B两点 用图示的两个毕托管测流速 压差计中为油 其容重为 0 8000N m3 试计算uA uB的大小 例3 5 解 以AC流线为基准面 沿AC写伯努力方程 以BD流线为基准面 沿BD流线写伯努力方程 根据压差计的公式 采用相对压强 3 3 2实际液体恒定微小流束的能量方程设单位重量流体的机械能损失为 3 3 3实际液体恒定总流的能量
11、方程 第一类积分 对于渐变流过水断面 第三类积分为 第二类积分为 动能修正系数 1 05 1 10 实际总流伯努力方程积分为 z 单位重量流体相对于基准面势能 位能 p 单位重量流体的压能 压强水头 v2 2g 单位重量流体的动能 流速水头 实际总流能量方程的物理意义 z p Hp 单位重量流体相对于基准面的势能 测压管水头 单位重量流体的总机械能 实际总流任一端面的总机械能等于其下游断面的总机械能与两端面之间的机械能损失之和 如果位能不变 压能和动能可以互相转化 压能增加则动能减少 压能减少则动能增加 非等量转化 差一个水头损失hw 如果动能不变 位能和压能可以互相转化 位能增加 压能减少
12、位能减少 压能增加 非等量转化 差一个水头损失hw 机械能转化过程中 有一部分克服水流阻力 转化为水头损失 z 位置水头 微小流束流过水断面上某点相对于基准面的位置高度 p 压强水头 测压管中液柱高度 v2 2g 速度水头 当不计空气阻力时 流体以初速度u向上喷射到空气中所能达到的理论高度 实际总流能量方程的几何意义 总水头线 水力坡度 测压管水头线坡度 测压管水头线 3 3 4实际总流能量方程的应用 应用条件 a 流动是恒定流 流体是不可压缩的 b 作用于流体上的质量力只有重力 c 过水断面是渐变流过水断面 应用要点 三选一全 原则 三选 选好 点 线 面 面 选好基准面 两过水断面上的计算
13、点的位置高度z要依据同一个基准面 一般将基准面选在较低位置 使z 0 线 选好两端的渐变流过水断面 常选的过水断面 液流边界起始端的过水断面 以及待求未知数的渐变流过水断面 点 选好两端过水断面上的计算点 对于管流 计算点一般选在管轴中心 对于明渠一般选在自由液面处或渠底 一全 全面分析和计算两过水断面之间的全部水头损失 一个不漏 能量方程中的动水压强p1 p2可用绝对压强也可用相对压强 在同一个方程中 必须采用相同的压强 不同过水断面上的动能修正系数 1 2一般可近似等于1 有分流或汇流时实际流体总流的伯努力方程 分流 汇流 有机械能输入或输出时 总流的伯努力方程 Hm 单位重量流体从外部所
14、获得或减少的机械能 有能量输入取 Hm 从水流内部输出能量时取 Hm 机械设备和动力设备的总效率 Nm 机械设备的轴功率 单位为瓦 W 如图所示 为文丘里流量计 它由收缩段 喉管与扩散段三部分组成 试计算其通过的流量大小 例3 6 解 例3 7 有一大水箱 水深保持恒定h 3m 大水箱底连接一铅直放置的输水管 管径d1 10cm 输水管出口为一喷嘴 喷嘴长度为0 3m 喷嘴出口直径d2 5cm 水流入大气 若不计水头损失 求图所示A B C三点的压强 解 取喷嘴出口2 2过水断面为基准面 例3 8 图为水喉喷出的射流 如喷嘴出口的流速v1 25m s 方向与水平面成60 的角 若忽略空气阻力的
15、影响 求射流能达到的高度H 解 写出口端面1 1和射流最高处端面2 2的能量方程 则 O O 射流喷出后 在忽略空气阻力影响的条件下 水平分速不变 即 例3 9 在如图所示的虹吸管中 已知 H1 2m H2 6m D 15mm 如不计损失 问S处的压强应为多大时此管才能吸水 此时 管内流速u2及流量Q各为若干 再列2 2和3 3断面的伯努力方程 解 列1 1到2 2断面的伯努力方程 抽水机管路如图 已知 抽水量Q 0 06m3 S 管径D 0 2m 高位水池水面高于吸水池水面30米 设管路ABC中的水头损失为hw 4m 问抽水机供给的总比能E为若干 例3 10 解 选取吸水池水面O O为基准面
16、 过水断面1 1 高位水池水面为2 2断面 列伯努力方程 3 4实际流体恒定总流动量方程3 4 1恒定总流动量方程式的推导 总流在原位置动量为M1 2在新位置的动量为M1 2 则dM M1 2 M1 2M1 2 M1 1 M1 2M1 2 M1 2 M2 2 dM M1 2 M1 2M1 2 M1 1 M1 2M1 2 M1 2 M2 2 因此 dM M1 2 M2 2 M1 1 M1 2 M2 2 M1 1 对于分流和汇流的情况 动量方程同样适用 分流 汇流 3 6 2恒定总流动量方程的应用条件和技巧应用条件 流体是恒定流 且不可压缩的 选择控制体的两个断面 必须是渐变流断面 以满足过水断面上点流速u与平均流速 方向近于一致的要求 控制体的急变流段不宜过长 两断面以紧靠急变流段为宜 以减小忽略不计摩擦切力而产生的误差 应用技巧 两选一全 选投影轴 把流速和外力向投影轴投影 凡是与投影轴方向一致为正 相反为负 投影轴可任意选取 以计算方便为准 选好控制体 一全 全面分析作用于控制体上所有外力a 两断面上的动水总压力 b 固体周界给控制体的总作用力 摩擦切力可忽略不计 c 控制体的重量
