《久期及凸度精编版课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《久期及凸度精编版课件（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、债券价格波动性 久期分析与凸度 1 债券价格与利率之间的关系 Malkiel定理债券的基本属性是其价格与到期收益率 利率 之间呈负相关关系 如下图所示 价格 估计线 实际线 收益率 1 债券价格与利率之间的关系 Malkiel定理 为了清楚地说明问题 我们假设了6只债券 这6只假想的债券面值均为100元 且每半年付息一次 6只债券的具体细节如下 我们计算了不同收益率下的债券理论价格或内在价值 表1 1 5年期票面利率为9 的债券 25年期票面利率为9 的债券 5年期票面利率为6 的债券 25年期票面利率为6 的债券 5年期的零息债券 25年期的零息债券 表1 16只假想债券的 价格 收益率 关
2、系 表1 26只假想债券价格变动百分比单位 Maklkiel定理 由表1 1 我们计算得到表1 2 假定收益率9 是基准水平 从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利率之间关系的5个特征 这是Maklkiel 1962 提出的 称为Maklkiel债券定价关系 Maklkiel定理 债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系 随着到期收益的增大 债券价格逐渐下降 Maklkiel定理 利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相同 但收益率波动较大时 债券价格在收益率上升时的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同 给定某一基点 在利率大幅度变动条件下 债券价格上升的百分比大于价格下降的百分比
3、Maklkiel定理 长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动更敏感 Maklkiel定理 随着期限的增加 债券价格对收益率或利率的变动的敏感程度以一个下降的速率增加 换言之 利率风险和债券的期限不成比例 而是滞后于这个比例的变化 如 尽管债券 9 25 是 9 5 到期时间的5倍 但是前者的利率敏感性与后者的比值小于5 Maklkiel定理 利率风险与债券的息票率呈负相关关系 高息票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相比 后者对利率更为敏感 如 比较 9 5 和 6 5 两种债券即可看出这一关系 2 久期分析 久期 又称持续期 该指标揭示了债券的市场价值 或均衡时的价格 对利率变动的敏感性
4、 或利率波动对债券价格所产生的影响 久期也衡量了债券的平均到期时间 具体而言 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均寿命或加权平均有效期 A 久期公式及其推导 t 债券产生现金流的各个时期 T 债券到期期限 y 债券的到期收益率 也即利率 CFt 债券在第t期产生的现金流 P0 债券的理论价格 均衡时等于市场价格 其中 A 久期公式及其推导 久期的基本作用在于近似地衡量债券到期收益率或利率水平变化多导致的债券价格的波动 是衡量债券或债券组合利率风险的一个基本指标 我们简要推导如下 A 久期公式及其推导 上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时债券现金流量的加权平均时间 权重是各期现金流的现值
5、占债券价格的比重 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的债券价格变化的近似值 将该式两边除以债券价格 我们能够得到因到期收益率所引起的债券价格变化的百分比的近似值 A 久期公式及其推导 令我们称之为Macualay久期 从而我们有 进一步地 我们令表示修正久期 那么有 A 久期公式及其推导 由此 我们可以得到债券价格变动的近似百分比为 债券价格变动的近似额为 返回 B 是什么决定了久期 久期定理 贴现债券或零息债券的Macaulay久期等于其到期时间 证明 显然 对贴现债券而言 其持续期就等于其到期期限 因为贴现债券只有到期时才会发生现金流 即 B 是什么决定了久期 久期定理 证毕 B 是什
6、么决定了久期 久期定理 直接债券的Macaulay久期小于其到期时间 只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的Macaulay久期等于其到期时间 并等于1 B 是什么决定了久期 久期定理 统一公债的Macaulay久期等于 1 y y 证明 由统一公债定义知 其每期现金流相同 且无限存续 故有 注意其中 统一公债的市场价值 统一公债的现金流 C C C 则统一公债的市场价值为 B 是什么决定了久期 久期定理 到期收益率既定时 息票率与久期负相关 如 图1 3 注意 这里息票率不是到期收益率或预期收益率 这个定理的证明很简单 只要考虑债券每期 最后一期除外 的现金流等于息票率与面值之积后 求久期对息
7、票率的偏导数即可证明 图1 3债券久期与息票率之间的负相关关系 B 是什么决定了久期 久期定理 在债券息票率不变的条件下 债券的到期时间与久期正相关 到期时间越长 久期也越大 反之则反是 债券无论是以面值出售还是以高于面值的溢价出售 久期总是随到期时间的增长而增加 图1 4 证明 利用久期公式求久期对到期时间T的偏导数 易证明该片导数为正 图1 4债券久期与到期时间的正相关关系 B 是什么决定了久期 久期定理 在其他条件既定时 债券的到期收益率与其久期负相关 即到期收益率越低 久期越长 反之成立 图1 5 证明思路同上 只需证明久期对债券到期收益率的偏导数为负即可 请大家自己证明 图1 5债券
8、久期与到期收益率的负相关关系 3 久期的内涵 对于久期 我们可以从时间角度和久期的作用于功能两个方面来理解 从时间角度考察 债券的久期是债权在未来时间预期的收益现金流的加权平均时间长度 权数为 它是债权承诺的各期收益现金流的现值在债券理论价格中所占的权重 3 久期的内涵 从久期的功能考察 久期本质上反映了债券价格对利率的敏感程度 它既衡量了债券未来收益的平均时间 也反映了投资于该债券或债券组合而使资产或资产自合暴露于风险中的时间长短 因此 久期越长 风险就越大 3 久期的内涵 久期也可以解释为债券价格对利率变化的弹性 这也是久期的本质 功能 所在 在数学上这种本质借助于一阶偏导数关系体现 根据
9、债券定价模型 该式两边对利率y求偏导数得到 3 久期的内涵 因此 于是久期是债券价格对利率的弹性得证 在实际运用中 经常对上述久期值进行修正 即得到所谓的修正久期 定义为 4 久期的计算收益率所变化所引致的债券价格波动 A 久期的计算程序步骤一 计算各期现金流的现值步骤二 计算债券的内在价值或价值步骤三 计算各期现金流现值占内在价值的比重 步骤四 以比重为权重 以时间为乘数 计算全部付款作为现值收回的加权平均时间 例2 8 先求贷款的内在价值或现值 计算加权平均期限 即持续期 银行有一期限为两年的贷款 每年产生100元的现金流量 贴现率为10 求该贷款的持续期 例2 9 考虑某面值为100 附
10、息票利率为10 的3年期债券 假定该债券复利的年收益率为12 息票每6个月付息一次 利息为5 试计算该债券的持续期 表1 66只假想债券的持续期和修正的持续期 B 债券价格波动的估算 久期方法的运用 我们已经看到 久期实际上近似的表示了由于收益率的微笑变化所引起的债券价格的变化 举例如下 我们考虑前面6只假想债券中的 票面利率6 的25年期 债券在9 收益率水平上以70 3570价格出售时的情况 由前面的计算知道 该债券修正久期为10 62 如果收益率从9 上升到9 10 即收益率变动了10个基点 那么我们可以用公式计算得到债券价格变动百分比的近似值 B 债券价格波动的估算 久期方法的运用 显然 收益率微小变动时 修正久期可以比较好地给出债券价格变动百分比的近似值 但是 当收益率波动比较大时 这种方法就难以与实际情况相吻合了 B 债券价格波动的估算 久期方法的运用 如下例 假定收益率上升了200个基点 譬如从9 上升到11 那么利用公式我们得到债券价格变动百分比近似值为 这显然与表1 2所列出的的结果 18 03相差甚远 这样 我们就不得不寻找更为精确的刻画债券价格波动的方法 凸度了 B 债券价格波动的估算 久期方法的运用 债券价格变动百分比和变动额 END
