《高考数学总复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形精选刷题练理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形精选刷题练理（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3三角恒等变换与解三角形命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形高考真题体验对方向1.(2018全国17)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.(20
2、17全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc
3、=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.3.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解(1)由题设及A+B+C=,得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2a
4、ccos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.4.(2017全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解(1)由已知可得tan A=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242
5、sinBAC=23,所以ABD的面积为3.5.(2016全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,即2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=12,所以C=3.(2)由已知,12absin C=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)
6、2=25.所以ABC的周长为5+7.新题演练提能刷高分1.(2018山东淄博一模)在ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2ABAC=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b=23,求ABC的面积.解(1)由已知2ABAC=a2-(b+c)2,得2bccos A=a2-(b+c)2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4bccos A=-2bc,所以cos A=-12.又0A,故A=23.(2)由(1)知cos A=-12,sin A=32,由正弦定理,得sin B=bsinAa=23326=12,所以B=6或56(舍去).从而C=6,所以ABC的面积为
7、S=12absin C=1262312=33.2.(2018河南郑州第二次质量预测)ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=192,求ABC的面积.解(1)由正弦定理,得2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,可化为bsin B-asin A=bsin C-csin C,即b2-a2=bc-c2,cos A=b2+c2-a22bc=12,A=60.(2)以AB,AC为邻边作ABEC,在ABE中,ABE=120,AE=19.在ABE中,由余弦定理得AE
8、2=AB2+BE2-2ABBEcos 120.即19=9+AC2-23AC-12,解得AC=2.故SABC=12bcsin A=332.3.(2018山东济南一模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A-acos B=2c.(1)证明:tan B=-3tan A;(2)若b2+c2=a2+3bc,且ABC的面积为3,求a.(1)证明根据正弦定理,由已知得sin Bcos A-cos Bsin A=2sin C=2sin(A+B),展开得sin Bcos A-cos Bsin A=2(sin Bcos A+cos Bsin A),整理得sin Bcos A=-3cos
9、 Bsin A,所以tan B=-3tan A.(2)解由已知得b2+c2-a2=3bc,cos A=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32,由0A,得A=6,tan A=33,tan B=-3,由0B0,sin B=cos A,即cos2-B=cos A.A(0,),2-B0,2,2-B=A,即A+B=2.C=2.(2)设BD=x,CB=a.ABC=3,ACB=2,AC=3a,AB=2a,AD=2a+x.SACD=12ACADsin A=123a(2a+x)12=343,即a(2a+x)=3.在BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosDBC,即x2+a2+ax=3
10、.联立可解得x=a=1.即BD=1.命题角度2解三角形中的最值与范围问题高考真题体验对方向(2013全国17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B,又B(0,),所以B=4.(2)ABC的面积S=12acsin B=24ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos4.又a2+c
11、22ac,故ac42-2,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为2+1.新题演练提能刷高分1.(2018四川资阳4月模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A.(2)若a=4,求b2+c2的取值范围.解(1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即a2-b2=c2-bc,则b2+c2-a22bc=12,即cos A=12.由于0A16,所以b2+c2的取值范围是(16,32.2.(2018山东烟台一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A-sin C).(1)求B的值;(2)若b=3,求a+c的最大值
