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1、1 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 2 函数f x 在点x0连续 上一节结论 在内都是连续函数 初等函数连续性 由常数和基本初等函数 经过有限次四则运算和 有限次函数的复合所构成并可用一个式子表示 的函数 称为初等函数 4 定理1 一 连续函数的四则运算 结论 1 三角函数在其定义区间内皆连续 若函数f x 与g x 在点x0处连续 则f x g x f x g x 在点x0处连续 故tanx cotx secx cscx在定义域上连续 5 2 反函数与复合函数的连续性 函数y f x 的反函数x f 1 y 定理2若函数y f x 在区间Ix上单调增加且连续 则它的反函数x f 1
2、y 在对应区间Iy y y f x x Ix 上单调增加且连续 6 因为y sinx在上单调增加且连续 结论 1 三角函数在其定义区间内皆连续 2 反三角函数在其定义区间内皆连续 3 指数函数在其定义区间内皆连续 4 对数在其定义区间内皆连续 故y logax在 0 单调增加且连续 在 单调增加且连续 故y arcsinx在 1 1 上单调增加且连续 幂函数 7 幂函数 复合函数连续性 问题 函数y f x 在x0点连续 若函数y f x 连续 是否成立 9 8 定理3设y f g x 是由y f u 与u g x 复合而成 若 而y f u 在u0点连续 则 证明 y f u 在u0点连续
3、当 u u0 时 当0 x x0 时 当0 x x0 时 9 当外层函数连续 内层函数极限存在 且 时 极限号 可以 穿过 外层 函数号 例1证明当x 0时 ln 1 x x 证 当x 0时 ln 1 x x 10 例2证明当x 0时 arcsinx x 当x 0时 t 0 当x 0时 arcsinx x 证 设 则x sint 常用等价无穷小当x 0时 11 练习1 计算极限 2 当x 0时 是x的几阶无穷小 12 定理4设y f g x 是由y f u 与u g x 复合而成 若g x 在x0点连续 g x0 u0 而y f u 在u0点连续 则y f g x 在x0点连续 证明 复合运算
4、保连续 幂函数 故y f g x 在x0点连续 13 结论 1 三角函数在其定义区间内皆连续 2 反三角函数在其定义区间内皆连续 3 指数函数在其定义区间内皆连续 4 对数函数在其定义区间内皆连续 5 幂函数在其定义区间内皆连续 基本初等函数在其定义区间内皆连续 14 三 初等函数的连续性 初等函数 常数基本初等函数 四则运算复合运算 连续 保连续 定理4初等函数在其定义区间内都是连续的 15 注 1 初等函数在其定义域内不一定连续 例如 在0点的邻域内没有定义 2 初等函数求极限的方法代入法 函数在区间 1 上连续 例如 16 例3求极限 计算 17 设 证 则 幂指函数求极限的方法 当底数的极限为正 且指数的极限为常数时 幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限 18 例4求极限 解 19 练习题 0 3 求极限 作业 P70 T3 3 5 6 7 T4 2 4 5 6 4 求极限 20 例5求极限
