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1、 第二章矩阵及其运算 1矩阵 一 矩阵概念的引入二 矩阵的定义三 特殊的矩阵四 矩阵与线性变换 例某航空公司在A B C D四座城市之间开辟了若干航线 四座城市之间的航班图如图所示 箭头从始发地指向目的地 B A C D 城市间的航班图情况常用表格来表示 一 矩阵概念的引入 为了便于计算 把表中的 改成1 空白地方填上0 就得到一个数表 ABCD ABCD 这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况 其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量 例某工厂生产四种货物 它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示
2、第i种货物的单件重量 一二三 1234 由m n个数排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵 简称m n矩阵 matrix 这个数表是一个整体 用括号将数表括起来 记作 二 矩阵的定义 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 这m n个数称为矩阵A的元素 简称为元 其中数称为矩阵的第行第列的元素 行数不一定等于列数共有m n个元素本质上就是一个数表 行数等于列数共有n2个元素本质上就是一个数 矩阵 行列式 2矩阵的运算 例某工厂生产四种货物 它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示 试求 工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中aij表示上半年工厂向第i家商
3、店发送第j种货物的数量 其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量 解 工厂在一年内向各商店发送货物的数量 一 矩阵的加法 定义 设有两个m n矩阵A aij B bij 那么矩阵A与B的和记作A B 规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 知识点比较 矩阵加法的运算规则 设A B C是同型矩阵 设矩阵A aij 记 称为矩阵A的负矩阵 显然 15 例如 设工厂向某家商店发送四种货物各l件 试求 工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量 例 续 该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 解 工厂
4、向该商店发送第j种货物的总值及总重量 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 二 数与矩阵的乘法 矩阵的数乘 定义 数l与矩阵A的乘积记作lA或Al 规定为 一个数乘以矩阵就是用该数乘以矩阵的所有的元素 20 例如 数乘矩阵的运算规则 设A B是同型矩阵 l m是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 例 设 求 解 知识点比较 例 续 某工厂生产四种货物 它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表 试求 工厂向三家商店所发货物的总售价及总重量分别是多少 26 三 矩阵的乘法 定义 设 那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个
5、m n矩阵 其中 并把此乘积记作C AB 说明 的元就是的第行元素与的第列元素对应乘积之和 例 设 则 29 特别注意 乘积不可交换 可乘的前提是的列数等于的行数 否则不可乘 没有意义 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 乘积一般不可以交换 例如 例 得出或的结论 矩阵乘法不满足交换律 所以矩阵相乘时必须注意顺序 矩阵乘法的运算规律 1 乘法结合律 3 乘法对加法的分配律 2 数乘和乘法的结合律 其中l是数 4 左分配律 右分配律 定义若A是n阶方阵 定义 性质 四 矩阵的幂 特别注意 若A与B可交换 即AB BA 则以上不等式将变成等式 五 矩阵的转置 定义 把矩
6、阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 Transpose 记作AT 例 转置矩阵的运算性质 例 已知 解法1 解法2 3几种特殊的矩阵 同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 例如 为同型矩阵 两个矩阵与为同型矩阵 并且对应元素相等 即则称矩阵A与B相等 记作A B 注意 不同型的零矩阵是不相等的 例如 行数与列数都等于n的矩阵 称为n阶方阵 可记作 只有一行的矩阵称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 或列向量 元素全是零的矩阵称为零距阵 可记作O 例如 一 特殊的矩阵 形如的方阵称为对角阵 特别的 方阵称为单位阵 记作 记作 对于单位矩
7、阵 有 43 5 数量矩阵 纯量矩阵 不在对角线上的元素都是0 对角线上的元素相同 这种矩阵称为数量矩阵 又称纯量矩阵 用表示 即 6 如果n阶矩阵中的元素满足条件 则称A为n阶上三角形矩阵 即 如果n阶矩阵中的元素满足条件 则称B为n阶上三角形矩阵 即 7 设A为n阶方阵 如果满足 即那么A称为对称矩阵 如果满足A AT 那么A称为反对称矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 两个对称矩阵的乘积也是对称矩阵吗 两个对称矩阵的乘积不一定还是对称矩阵 结论 A和B是两个对称矩阵 AB是对称的当且仅当A与B可交换 即AB BA 例 设列矩阵X x1 x2 xn T满足XTX 1 E为n阶单位阵 H E 2XXT 试证明H是对称阵 且HHT E 证明 从而H是对称阵 二 方阵的行列式 定义 由n阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵A的行列式 determinant 记作 A 或detA 设 则 运算性质 转置后 行列式不变 行列式的基本性质 2 设A是n阶矩阵 则 2 设A是n阶矩阵 则 注意 3 设A和B是同阶方阵 则 证明 略 52 小结 矩阵的线性运算是矩阵的加法及矩阵的数乘 矩阵的乘法是比较难理解的一种运算 它与数的乘法比较如下 53 作业 P74 762 4 2 4 6 7 2 4 6 14 1 感谢亲观看此幻灯片 此课件部分内容来源于网络 如有侵权请及时联系我们删除 谢谢配合
