《2020年内蒙古包头市一机一中高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年内蒙古包头市一机一中高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 15 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知 则复数 z A 1 3iB 1 3iC 1 3iD 1 3i 2 如图 若在矩形 OABC 中随机一粒豆子 则豆子落在图中阴 影部分的概率为 A B C D 3 函数 f x x 3 ex的单调递减区间是 A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 4 若直线 y ax 与曲线 y lnx 相切 则常数 a A eB 1C e 1D 5 已知圆和点 P 是圆上一点 线段 BP 的垂直平分线交 CP 于 M 点 则 M 点的轨迹方程是 A B C D
2、 6 函数的图象的大致形状是 A B C D 7 已知函数 则 f x 的极大值点为 A B 1C eD 2e 8 已知 a ln b e 是自然对数的底数 c 则 a b c 的大小关系是 A c a bB a c bC b a cD c b a 第 2 页 共 15 页 9 设 F1 F2分别为双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 若在双曲线的右支上 存在点 P 满足 PF2 F1F2 且原点 O 到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长 则 该双曲线的渐近线方程为 A 4x 3y 0B 3x 5y 0C 3x 4y 0D 5x 3y 0 10 设定义在 0 上的函数 f x 的导函数
3、f x 满足 xf x 1 则 A f 2 f 1 ln2B f 2 f 1 1 C f 2 f 1 ln2D f 2 f 1 1 11 如图所示 正方形 和正方形 原点 为的中点 抛物线 经过 两点 则直线的斜率为 A B C D 12 关于函数 f x lnx 下列说法正确的是 1 x 2 是 f x 的极大值点 2 函数 y f x x 有且只有 1 个零点 3 存在正实数 k 使得 f x kx 恒成立 4 对任意两个正实数 x1 x2 且 x2 x1 若 f x1 f x2 则 x1 x2 4 A 1 2 3 4 B 2 4 C 2 3 D 3 4 二 填空题 本大题共 4 小题 共
4、 20 0 分 13 14 已知函数 f x alnx 在 1 2 上为单调函数 则 a 的取值范围为 15 过点 M 1 1 作斜率为 的直线 l l 与椭圆 a b 0 相交于 A B 两点 若 AM MB 则椭圆的离心率为 16 设函数 f x x a 2 4 lnx a 2 a R 存在 x0 0 使得 f x0 成立 则实 数 a 的值是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 72 0 分 17 在平面直角坐标系 xOy 中 矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上 另一边 CD 在 x 轴上方 且 AB 8 BC 6 其中 A 4 0 B 4 0 1 若 A B 为椭圆的焦点 且椭
5、圆经过 C D 两点 求该椭圆的方程 2 若 A B 为双曲线的焦点 且双曲线经过 C D 两 点 求双曲线的方程 第 3 页 共 15 页 18 已知函数 f x ax3 bx2 cx 在点 x0处取得极大值 5 其导函数 y f x 的图象 经过点 1 0 2 0 如图所示 求 x0及 a b c 的值 求函数 f x 在区间 0 3 上的最大值和最小值 19 已知函数 f x lnx ax a R 1 讨论函数 f x 的单调性 2 若 h x 有唯一零点 求 a 的取值范围 20 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC AA1 2 E 是 BC 中点 1 求
6、证 A1B 平面 AEC1 2 在棱 AA1上存在一点 M 满足 B1M C1E 求平面 MEC1与平面 ABB1A1所成锐二面角的余弦值 第 4 页 共 15 页 21 已知椭圆 C y2 1 A B 分别为椭圆的右顶点和上顶点 O 为坐标原点 P 为 椭圆第一象限上一动点 1 直线 PA 与 y 轴交于点 M 直线 PB 与 x 轴交于点 N 求证 AN BM 为定值 2 Q 为 P 关于 O 的对称点 求四边形 APBQ 面积 S 的最大值 22 已知函数 f x ex x 1 2 g x x2 2x lnx 1 求函数 f x 的最小值 2 当 a 0 时 对任意 x 0 时 不等式
7、af x a 1 g x x a 恒 成立 求 a 的取值范围 第 5 页 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 1 i 2 i 1 3i 则复数 z 1 3i 故选 A 利用复数的运算法则 共轭复数的定义即可得出 本题考查了复数的运算法则 共轭复数的定义 考查了推理能力与计算能力 属于基础 题 2 答案 B 解析 解 图中阴影部分的面积为 S cosxdx sinx 1 矩形的面积为 豆子落在图中阴影部分的概率为 故选 B 求出图中阴影部分的面积为 S cosxdx sinx 1 矩形的面积为 即可求出豆子落在图 中阴影部分的概率 本题简单的考查了几何概率的求解 属于容
8、易题 难度不大 正确求面积是关键 3 答案 A 解析 解 数 f x x 3 ex f x x 2 ex 根据单调性与不等式的关系可得 x 2 ex 0 即 x 2 所以函数 f x x 3 ex的单调递减区间是 2 故选 A 利用函数 f x x 3 ex的单调递减区间 求出导函数 解不等式 本题考查了导数在判断单调性中的应用 难度不大 属于常规题 4 答案 C 解析 解 y lnx y 设切点为 m lnm 得切线的斜率为 所以曲线在点 m lnm 处的切线方程为 y lnm x m 由题设知它过原点 0 0 0 lnm 1 m e a e 1 故选 C 欲 a 的值 只须求出切线的斜率的
9、值即可 故先利用导数求出在切处的导函数值 再结 合导数的几何意义即可求出切线的斜率 从而问题解决 第 6 页 共 15 页 本小题主要考查直线的方程 导数的几何意义 利用导数研究曲线上某点切线方程等基 础知识 考查运算求解能力 属于基础题 5 答案 B 解析 分析 根据线段中垂线的性质可得 MB MP 又 MP MC 半径 10 故有 MC MB 5 AC 根据椭圆的定义判断轨迹椭圆 求出 a b 值 即得椭圆的标准方程 本题考查椭圆 的定义 椭圆的标准方程 得出 MC MB 10 BC 是解题的关键和难点 解答 解 由圆的方程可知 圆心 C 3 0 半径等于 10 设点 M 的坐标为 x y
10、 BP 的垂直平分线交 CQ 于点 M MB MP 又 MP MC 半径 10 MC MB 10 BC 依据椭圆的定义可得 点 M 的轨迹是以 B C 为焦点的椭圆 且 2a 10 c 3 b 4 故椭圆方程为 故选 B 6 答案 A 解析 分析 本题考查函数的图象的判断 特殊点坐标的应用 考查计算能力 利用特殊点的坐标排除选项 C D 利用导数判断 x 0 上的单调性 推出结果即 可 解答 解 当 x 时 f 0 排除选项 C D 函数的导数可得 f x x 0 f x 0 函数是增函数 x f x 0 函数是减函数 所以 A 正确 B 错误 故选 A 7 答案 D 解析 分析 本题考查了函
11、数的单调性 极值问题 考查导数的应用 求出 f e 的值是解题的关 键 求出 f e 的值 求出函数 f x 的解析式 解关于导函数的不等式 求出函数的单 调区间 从而求出函数的极大值点即可 解答 解 f x 令 x e 可得 f e f x 2lnx 第 7 页 共 15 页 令 f x 0 解得 0 x 2e 令 f x 0 解得 x 2e 故 f x 在 0 2e 递增 在 2e 递减 x 2e 时 f x 取得极大值 2ln2 则 f x 的极大值点为 2e 故选 D 8 答案 A 解析 解 设 f x 则 f x 令 f x 0 得 1 lnx 0 x e 函数 f x 在 0 e
12、上单调递增 又 即 c a b 故选 A 构造函数 f x 利用导数得到函数 f x 在 0 e 上单调递增 又 所 以 即 c a b 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 以及利用函数的单调性比较函数值的大小 关系 是中档题 9 答案 A 解析 解 依题意 PF2 F1F2 可知三角形 PF2F1是一个等腰三角形 F2在直线 PF1 的投影是其中点 由勾股定理可知 PF1 4b 根据双曲定义可知 4b 2c 2a 整理得 c 2b a 代入 c2 a2 b2整理得 3b2 4ab 0 求得 双曲线的渐近线方程为 y x 即 4x 3y 0 故选 A 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找
13、等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 进 而求出双曲线的渐近线方程 本题主要考查三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用知识能力的考 查 属中档题 10 答案 A 解析 解 因为函数 f x 的定义域为 0 xf x 1 令 g x f x lnx 则 g x f x 0 故 g x f x lnx 在区间 0 上单调递减 所以 g 2 g 1 即 f 2 ln2 f 1 ln1 f 1 第 8 页 共 15 页 变形可得 f 2 f 1 ln2 故选 A 构造函数 g x f x lnx 由 xf x 1 可得 g x f x lnx 在区间 0 上单调递减 于是有 g 2
14、 g 1 从而可得答案 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 构造函 g x f x lnx 并判断出在 0 上单调递减是关键 数考查等价转化思想及逻辑思维能力 属于中档题 11 答案 B 解析 分析 本题考查抛物线的方程 考查直线斜率的计算 求出 B E 的坐标是关键 设正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a b a b 求出 B E 的坐标 即 可求出直线 BE 的斜率 解答 解 设正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a b a b 由题可得 则 解得 则 直线 BE 的斜率 故选 B 12 答案 B 解析 解 1 函数的的定义域为 0 函数的导数 f x
15、 0 2 上 f x 0 函数单调递减 2 上 f x 0 函数单调递增 x 2 是 f x 的极小值点 即 1 错误 2 y f x x lnx x y 1 0 函数在 0 上单调递减 x 0 y 函数 y f x x 有且只有 1 个零点 即 2 正确 3 若 f x kx 可得 k 令 g x 则 g x 令 h x 4 x xlnx 则 h x lnx 在 x 0 1 上 函数单调递增 x 1 上函数单调递减 h x h 1 0 g x 0 g x 在 0 上函数单调递减 函数无最小值 不存在正实数 k 使得 f x kx 恒成立 即 3 不正确 4 令 t 0 2 则 2 t 0 2
16、 2 t 2 令 g t f 2 t f 2 t ln 2 t ln 2 t ln 则 g t 0 g t 在 0 2 上 函数单调递减 第 9 页 共 15 页 则 g t g 0 0 令 x1 2 t 由 f x1 f x2 得 x2 2 t 则 x1 x2 2 t 2 t 4 当 x2 4 时 x1 x2 4 显然成立 对任意两个正实数 x1 x2 且 x2 x1 若 f x1 f x2 则 x1 x2 4 正确 故正确的是 2 4 故选 B 1 求函数的导数 结合函数极值的定义进行判断 2 求函数的导数 结合函数的单调性 结合函数单调性和零点个数进行判断即可 3 利用参数分离法 构造函数 g x 求函数的导数 研究函数的单调性和 极值进行判断即可 4 令 g t f 2 t f 2 t 求函数的导数 研究函数的单调性进行证明即可 本题主要考查命题的真假判断 涉及函数的单调性和极值 函数零点个数的判断 以及 构造法证明不等式 综合性较强 运算量较大 有一定的难度 13 答案 解析 解 x2 x 1 13 32 3 1 12 1 1 故答案为 求出被积函数 2x 的原函数 将积分的
