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1、第 1 页 共 9 页 期中数学试卷 期中数学试卷 题号一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 15 小题 共 60 0 分 1 在等差数列 an 中 若 a3 a4 a5 a6 a7 450 则 a2 a8的值为 A 45B 90C 180D 300 2 等比数列 an 中 a2 9 a5 243 an 的前 4 项和为 A 81B 120C 168D 192 3 如果 1 a b c 9 成等比数列 那么 A b 3 ac 9B b 3 ac 9C b 3 ac 9D b 3 ac 9 4 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 11 a4 a6 6 则当 Sn取最小值时 n
2、等 于 A 6B 7C 8D 9 5 已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 1 2 则 a12 a22 an2 A 4 2n 1 2B 4 2n 1 1 2C D 6 正项等比数列 an 中 则 A 1B 1C 2D 0 7 数列 0 3 0 33 0 333 0 3333 的一个通项公式是 A 10n 1 B 10n 1 C 1 D 10n 1 8 已知数列 则是这个数列的 A 第六项B 第七项C 第八项D 第九项 9 等比数列 an 中 a1 a2 a3 30 a4 a5 a6 120 则 a7 a8 a9 A 240B 240C 480D 480 10 已知 m a a 2 n b
3、 0 则 m n 的大小关系是 A m nB m nC m nD 不确定 11 已知 a b c R 且 a b ab 0 则下列不等式一定成立的是 A a3 b3B ac2 bc2C D a2 b2 12 已知 0 则下列结论错误的是 A a2 b2B C ab b2D lga2 lgab 13 已知 x y 满足 则 3x y 的最小值为 A 4B 6C 12D 16 14 不等式组 表示的平面区域是 第 2 页 共 9 页 A B C D 15 矩形两边长分别为 a b 且 a 2b 6 则矩形面积的最大值是 A 4B C D 2 二 填空题 本大题共 5 小题 共 20 0 分 16
4、已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 n N 则 a8的值是 17 若三数成等比数列 其积为 8 首末两数之和为 4 则公比 q 的值为 18 已知 an是等差数列 a2 a4 a6 a8 16 求 S9 19 已知 x 0 则函数 的最大值是 20 已知实数 x y 满足 则 z 2x 4y 的最大值为 三 解答题 本大题共 2 小题 共 20 0 分 21 已知等差数列 an 的公差不为 0 a1 3 且 a2 a4 a7成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求 a2 a4 a6 a2n 22 某单位计划建一长方体状的仓库 底面如图 高度为 定值 仓库的后墙和底部不花钱 正面的造
5、价为 40 元 m 两侧的造价为 45 元 m 顶部的造价为 20 元 m2 设仓库正面的长为 x m 两侧的长各为 y m 1 用 x y 表示这个仓库的总造价 t 元 2 若仓库底面面积 S 100m2时 仓库的总造价 t 最少是多少元 此时正面的长 应设计为多少 m 第 3 页 共 9 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 由 a3 a4 a5 a6 a7 a3 a7 a4 a6 a5 5a5 450 得到 a5 90 则 a2 a8 2a5 180 故选 C 根据等差数列的性质可知 项数之和相等的两项之和相等 化简已知的等式即可求出 a5 的值 然后把所求的式子也利用等差数
6、列的性质化简后 将 a5的值代入即可求出值 此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值 是一道基础题 学生化简已知条件时 注意项数之和等于 10 的两项结合 2 答案 B 解析 分析 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列前 n 项和公式化简求值 是一道中档 题 根据等比数列的性质可知 等于 q3 列出方程即可求出 q 的值 利用 即可求出 a1的值 然后利用等比数列的首项和公比 根据等比数列前 n 项和公式即可求出 an 的前 4 项 和 解答 解 因为 q3 27 解得 q 3 又 a1 3 则等比数列 an 的前 4 项和 S4 120 故选 B 3 答案 B 解析 分析 本题主要
7、考查等比数列的等比中项的应用 属于较易题 由等比数列的等比中项来求解 解析 解 由等比数列的性质可得 ac 1 9 9 b2 9 且 b 与奇数项的符号相同 b 3 故选 B 4 答案 A 解析 分析 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用 考查二次函数最值的求法及计 算能力 条件已提供了首项 故用 a1 d 法 再转化为关于 n 的二次函数解得 解答 解 设该数列的公差为 d 则 a4 a6 2a1 8d 2 11 8d 6 解得 d 2 第 4 页 共 9 页 所以 所以当 n 6 时 Sn取最小值 故选 A 5 答案 C 解析 解 当 n 2 时 当 n 1 时 适合上式
8、是首项为 4 公比为 4 的等比数列 故选 C 利用数列的第 n 项与前 n 项和减去前 n 1 项和转化求解数列的通项公式 判断数列是等 比数列 然后求解新数列的和即可 本题考查数列通项公式的求法 数列的判断 数列求和的方法 考查计算能力 6 答案 B 解析 解 正项等比数列 an 中 a2a5 10 a3a4 10 lga3 lga4 lga3a4 lg10 1 故选 B 等比数列的定义和性质 得到 a3a4 10 故有 lga3 lga4 lga3a4 lg10 1 本题考查等比数列的定义和性质 得到 a3a4 10 是解题的关键 7 答案 C 解析 解 根据题意 数列 9 99 999
9、 9999 的通项是 10n 1 则数列 0 9 0 99 0 999 0 9999 的通项是 10n 1 1 则数列 0 3 0 33 0 333 0 3333 的一个通项公式是 1 故选 C 根据所给的这个数列的特点 先写出 9 99 999 9999 的通项公式 由此可得数列 0 9 0 99 0 999 9999 的通项 对其每一项都乘以 即可得数列 0 3 0 33 0 333 0 3333 的一个通项公式 分析可得答案 本题考查数列的通项的求法 需要掌握常见数列的通项及求法 8 答案 B 解析 分析 本题通过观察并利用构造法 构造了新数列 an2 为等差数列 从而得解 构造法在数列
10、 中经常出现 我们要熟练掌握 本题通过观察可知 原数列每一项的平方组成等差数列 且公差为 3 即 an2 an 12 3 从 而利用等差数列通项公式 an2 2 n 1 3 3n 1 20 得解 n 7 解答 解 数列 各项的平方为 2 5 8 11 第 5 页 共 9 页 5 2 11 8 3 即 an 12 an2 3 an2 2 n 1 3 3n 1 令 3n 1 20 则 n 7 故选 B 9 答案 C 解析 解 因为 a1 a2 a3 a1 1 q q2 30 a4 a5 a6 a1q3 1 q q2 120 所以 q3 4 则 a7 a8 a9 a1q6 1 q q2 a1 1 q
11、 q2 q3 2 30 16 480 故选 C 根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式 整体代入后即可求出 q3的值 然后把 所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后 把 a1 1 q q2 30 和求出 q3的值代入 即可求出值 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值 掌握等比数列的性质 是一道基 础题 10 答案 A 解析 分析 分别判断出 m n 的大小 然后比较即可 本题主要考查基本不等式的性质 还有指数函数的性质 属于基础题 解答 解 m a a 2 2 2 4 a 2 当且仅当 a 2 即 a 3 时等号成立 n 22 4 b 0 故 m n 故选 A 11 答案 A 解
12、析 解 a b c R 且 a b ab 0 故 a3 b3成立 故 A 正确 当 c 0 时 则 ac2 bc2 故 B 不一定成立 由于 ab 符号不确定 故 与 的大小不能确定 故 C 不一定成立 由于 a b 符号不确定 故 a2与 b2的大小不能确定 故 D 不一定成立 故选 A 根据不等式的基本性质 结合已知中 a b 逐一分析四个答案中的不等式是否一定成 立 可得答案 本题考查的知识点是不等式的基本性质 熟练掌握不等式的基本性质 是解答的关键 12 答案 C 第 6 页 共 9 页 解析 解 由 得 b a 0 所以有 a2 b2 所以 A 正确 因为 b a 0 所以 且 所以
13、 所以 B 正确 因为 a b b 0 所以 ab b2 所以 C 不正确 因为 a b a 0 所以 a2 ab 所以 lga2 lgab 所以 D 正确 故选 C 根据题目给出的不等式 断定出 a b 的大小和符号 然后运用不等式的基本性质分析 判断 本题考查了不等关系与不等式 解答此题的关键是掌握不等式的基本性质 特别注意的 是只有在 a b 同号时才有 a b 是易错题 13 答案 A 解析 解 作出 x y 满足所对 应的可行域 如图 OAB 变形目标函数可得 y 3x z 平移直线 y 3x 可知 当直线经过点 A 2 2 时 截距 z 取最大值 目标函数 z 取最小值 3 2 2
14、 4 故选 A 作出可行域 变形目标函数并平移直线 y 2x 可得 本题考查简单线性规划 准确作图是解决问题的关键 属中档题 14 答案 C 解析 解 先在坐标系中画出直线 y 2 x 和直线 y x 的图象 由已知 不等式组表示的平面区域应为 在直线 y 2 x 的左下侧 包括直线 y 2 x 且在直线 y x 的左上侧部分 包括直线 y x 故选 C 根据阴影部分与直线的位置关系即可写出结论 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域 体现了数形结合的数学思想 属于基础 题 15 答案 B 解析 解 a 2b 6 a 2b 2 2 2ab 9 ab 第 7 页 共 9 页 即矩形的面积的最大
15、值是 故选 B 根据两个数字的和是一个定值 利用基本不等式写出两个数的积的形式存在最大值 整 理出最大值的形式 得到结果 本题考查基本不等式的应用 是一个较简单的基本不等式的应用 注意不等式的使用条 件 本题是一个送分题目 16 答案 15 解析 解 数列 an 的前 n 项和 a8 S8 S7 64 49 15 故答案为 15 利用 a8 S8 S7 可得结论 本题考查数列的通项与求和 考查学生的计算能力 属于基础题 17 答案 1 解析 解 根据题意 若三数成等比数列 设其中间项为 a 若三个数的积为 8 则有 a3 8 解可得 a 2 又由首末两数之和为 4 则有 2q 4 解可得 q
16、1 故答案为 1 根据题意 设三个数中中间项为 a 由等比数列的性质可得 a3 8 解可得 a 2 进而可 得 2q 4 解可得 q 的值 即可得答案 本题考查等比数列的性质 涉及等比数列的通项 属于基础题 18 答案 36 解析 解 由 a2 a4 a6 a8 4a5 16 解得 a5 4 则 S9 9a5 36 故答案为 36 根据等差数列的性质 由 a2 a4 a6 a8 16 即可得到关于第 5 项的方程 求出方程的解 即可得到第 5 项的值 然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出 S9 再利用等差数列 的性质化为关于第 5 项的式子 把第 5 项的值代入即可求出值 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及前 n 项和的公式化简求值 是一道基础题 19 答案 解析 解 函数 由基本不等式得 t 第 8 页 共 9 页 故函数的最大值是 故答案为 由函数变形为 再由基本不等式求得 t 从而有得到结果 本题主要考查函数最值的求法 一般有两种方法 一是函数法 二是基本不等式法 本 题应用的是基本不等式法 要注意一正 二定 三相等 20 答案 14 解析 解 画可行域如图三角形 ABC
