2020年安徽省高二(下)期中数学试卷解析版(理科)

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1、第 1 页 共 14 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 己知复数 z 满足 1 2i z 3 4i 则 z A B 5C D 2 有一段演绎推理是 任何实数的绝对值都大于 0 m 是实数 则 m 0 则这个 演绎推理出错在 A 推理形式错误B 小前提错误C 大前提错误D 没有出错 3 函数 f x 2x2 1 在区间 1 1 x 上的平均变化率等于 A 4B 4 2 xC 4 2 x 2D 4x 4 用反证法证明命题 设 a b 为实数 则方程至少有一个实根 时 要做的假设是 A 方程没有实根B 方程至多

2、有一个实根 C 方程至多有两个实根D 方程恰好有两个实根 5 与曲线 y x3 5x 相切且过原点的直线的斜率为 A 2B 5C 1D 2 6 如果复数 z 满足 z 2i 1 i 为虚数单位 那么 z 1 i 的最小值是 A B C D 7 函数 y sin32x 的导数是 A y 3sin2xsin4xB y 3sin22x C y 3sin22xcos2xD y 6sin2xcos2x 8 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCA 90 M N 分别是 A1B1 A1C1的中点 BC AC CC1 1 则 AN 与 BM 所成角的余弦值为 A B C D 9 已知函数 y xf x 的

3、图象如图所示 其中 f x 是函数 f x 的导函数 下面四个图象中 y f x 的图象大致是 A B 第 2 页 共 14 页 C D 10 已知函数 f x x2 2 ex 2x 1 x 1 1 e 为自然对数的底数 e 2 71828 则函数 f x 的最大值为 A 3e 3B 1C D 以上都不对 11 已知函数 f x x lnx ax 有且仅有一个极值点 则实数 a 的取值范围是 A B a 0C a 0 或D a 0 12 已知函数 f x alnx 若对 x1 x2 2 x1 x2 使 m 成立 则 m 的取值范围是 A 2 B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20

4、 0 分 13 用火柴棒摆 金鱼 如图所示 按照上面的规律 第 n 个 金鱼 图需要火柴棒 的根数为 14 若平面 的一个法向量为 A 1 0 2 B 0 1 4 A B 则点 A 到平面 的距离为 15 16 经研究发现 三次函数 f x ax3 bx2 cx d a 0 都有对称中心 设其为 x0 f x0 则 f x0 0 反之也成立 其中 f x 是函数 f x 的导函数 f x 的导数 已知 f x x3 ax2 a2 2a x 2a 1 若对任意的实数 m m 1 函数 f x 在 x m 和 x 2 m 处的切线互相平行 则实数 a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 72 0

5、分 17 已知复数 i 为虚数单位 1 求 z3的值 2 类比数列的有关知识 求 1 z z2 z2019的值 第 3 页 共 14 页 18 已知数列 an 满足 a1 2 an 1 an2 nan 1 n N 1 求 a2 a3 a4 并由此猜想出 an 的一个通项公式 不需证明 2 用数学归纳法证明 当 n 1 时 19 已知函数 f x ax blnx a b R 1 若函数 f x 在 x 1 处的切线方程为 y 3x 1 求 a b 的值 2 若 a 0 b 1 证明 当 x y e 1 时 exf 1 y eyf 1 x 20 如图 三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2

6、 的正三角形 侧棱垂直于底面 侧棱 长为 D 为棱 AC 的中点 求证 B1C 平面 A1BD 求二面角 A1 BD A 的大小 第 4 页 共 14 页 21 如图是一个半径为 2 千米 圆心角为 的扇形游览区的平面示意图 C 是半径 OB 上 一点 D 是圆弧上一点 且 CD OA 现在线段 OC 线段 CD 及圆弧三段所示 位置设立广告位 经测算广告位出租收入是 线段 OC 处每千米为 2a 元 线段 CD 及圆弧处每千米均为 a 元 设 AOD x 弧度 广告位出租的总收入为 y 元 1 求 y 关于 x 的函数解析式 并指出该函数的定义域 2 试问 x 为何值时 广告位出租的总收入最

7、大 并求出其最大值 22 已知函数 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 有两个极值点 x1 x2 且 x1 0 1 求证 第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 分析 本题考查了复数模的运算性质及其计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 利用复数模的运算性质及其计算公式即可得出 解答 解 1 2i z 3 4i 则 z 故选 C 2 答案 C 解析 解 大前提是 任何实数的绝对值都大于 0 小前提是 m 是实数 结论 是 m 0 大前提 任何实数的绝对值大于 0 是不正确的 0 的绝对值就不大于 0 故选 C 要分析一个演绎推理是否正确 主要

8、观察所给的大前提 小前提和结论及推理形式是否 都正确 根据这几个方面都正确 才能得到这个演绎推理正确 本题考查演绎推理的基本方法 考查实数的性质 这种问题不用进行运算 只要根据所 学的知识 判断这种说法是否正确即可 是一个基础题 3 答案 B 解析 解 根据题意 函数 f x 2x2 1 在区间 1 1 x 上 其平均变化率 4 2 x 故选 B 根据题意 由平均变化率的定义可得 计算即可得答案 本题考查平均变化率的计算 关键是掌握平均变化率的计算公式 4 答案 A 解析 解 反证法证明问题时 反设实际是命题的否定 用反证法证明命题 设 a b 为实数 则方程 x3 ax b 0 至少有一个实

9、根 时 要做的 假设是 方程 x3 ax b 0 没有实根 故选 A 分析 直接利用命题的否定写出假设即可 本题考查反证法证明问题的步骤 基本知识的考查 5 答案 B 第 6 页 共 14 页 解析 解 设切点坐标为 P x0 y0 由曲线 y f x x3 5x 得 f x 3x2 5 所以过原点的切线斜率为 k f x0 3 5 所以切线方程为 y y0 3 5 x x0 又切线过原点 O 0 0 所以 5x0 3 5x0 解得 x0 0 所以 y0 0 则 P 0 0 所以与曲线 y x3 5x 相切且过原点的直线的斜率为 k f 0 5 故选 B 设切点为 x0 y0 求出切线 l 的

10、斜率为 f x0 写出切线 l 的方程 根据且线 1 过 原点求出切点坐标和斜率 本题考查了导数的几何意义与应用问题 也考查了运算求解能力 是基础题 6 答案 A 解析 解 由 z 2i 1 得 z 对应的点在以 0 2 为圆 心 以 1 为半径的圆上 z 1 i 的几何意义为圆上的点到 1 1 的距离 如图 则 z 1 i 的最小值是 故选 A 由 z 2i 1 得 z 对应的点在以 0 2 为圆心 以 1 为半 径的圆上 z 1 i 的几何意义为圆上的点到 1 1 的距离 画出图形 数形结合得答 案 本题考查复数的代数表示法及其几何意义 考查数形结合的解题思想方法 是中档题 7 答案 A

11、解析 解 根据题意 y sin32x 其导数 y 3sin22x sin2x 6sin22xcos2x 3sin2xsin4x 故选 A 根据题意 由复合函数的导数计算公式分析可得答案 本题考查导数的计算 注意复合函数导数的计算公式 属于基础题 8 答案 D 解析 分析 本题考查了异面直线及其所成的角 属中档题 可先作出所求角再利用余弦定理求值 解答 解 如图 第 7 页 共 14 页 取 BC 中点 E 连接 NE AE MN M N 分别是 A1B1 A1C1的中点 又 E 为 BC 的中点 所以四边形 BENM 为平行四边形 所以 则或其补角即为所求异面直线所成角 又 所以 故选 D 9

12、 答案 B 解析 解 由图象看出 1 x 0 和 x 1 时 xf x 0 x 1 和 0 x 1 时 xf x 0 1 x 1 时 f x 0 x 1 或 x 1 时 f x 0 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 f x 的大致图象应是 B 故选 B 通过观察函数 y xf x 的图象即可判断 f x 的符号以及对应的 x 的所在区间 从而判断出函数 f x 的单调性及单调区间 所以观察选项中的图象 找出符合条件的 即可 考查观察图象的能力 对于积的不等式 xf x 0 或 xf x 0 的求解 函数 导数符号和函数单调性的关系 10 答案 A 第 8 页 共 14 页

13、 解析 解 函数 f x x2 2 ex 2x 1 x 1 1 f x 2xex x2 2 ex 2 x2 2x 2 ex 2 由 x 1 1 f x 0 解得 x 0 f 1 f 0 1 f 1 3e 3 函数 f x 的最大值为 3e 3 故选 A 求出 f x x2 2x 2 ex 2 利用导数性质能求出函数函数 f x x2 2 ex 2x 1 x 1 1 的最大值 本题考查函数的最大值的求法 考查导数性质等基础知识 考查运算能力和推理论证能 力 属于中档题 11 答案 B 解析 解 函数 f x x lnx ax 有且仅有一个极值点 f x lnx 2ax 1 0 只有一个解 且两边

14、正负不同 即 2a 即 y 2a 与 y g x 只有一个交点 且两边正负不同 g x 当 x 0 1 时 g x 0 函数 g x 单调递增 当 x 1 时 g x 0 函数 g x 单调递减 g x max g 1 1 当 x 0 时 g x 当 x 时 g x 0 结合图象可得 2a 1 或 2a 0 解得 a 或 a 0 当 a 时 f x xlnx x2 f x 1 lnx x 令 h x 1 lnx x h x 1 h x 在 0 1 单调递增 在 1 上单调递减 h x h 1 0 第 9 页 共 14 页 f x 1 lnx x 0 恒成立 f x 在 0 上单调递减 f x

15、没有极值点 经检验 a 0 符合题意 故选 B 由题意可得 2a 可得 y 2a 与 y g x 只有一个交点 根据导数求出函数 最值即可 注意检验 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值 考查了等价转化方法 考查了推理能力和 计算能力 属于中档题 12 答案 D 解析 解 当时 在 0 上单调递增 则 因为 所以 记 g x f x mx 因为 所以 则 g x 在 0 上单调递增 故 g x 0 在 2 上恒成立 即在 2 上恒成立 整理得在 2 上恒成立 则 故有 因为 使成立 所以 即 故选 D 当时 在 0 上单调递增 推出 记 g x f x mx 说明 g x 在 0 上单调递增

16、 故 g x 0 在 2 上恒成 立 整理得在 2 上恒成立 通过求解函数的最大值推出结果即可 本题考查函数的导数的应用 函数的最值的求法 考查转化思想以及计算能力 13 答案 6n 2 解析 解 由题意知 图 的火柴棒比图 的多 6 根 图 的火柴棒比图 的多 6 根 而图 的火柴棒的根数为 2 6 第 n 条小鱼需要 2 6n 根 故答案为 6n 2 观察给出的 3 个例图 注意火柴棒根数的变化是图 的火柴棒比图 的多 6 根 图 的 火柴棒比图 的多 6 根 而图 的火柴棒的根数为 2 6 本题考查了规律型中的图形变化问题 本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法 归 纳法 先观察特例 找到火柴棒根数的变化规律 然后猜想第 n 条小鱼所需要的火柴 棒的根数 14 答案 第 10 页 共 14 页 解析 解 平面 的一个法向量为 A 1 0 2 B 0 1 4 A B 1 1 2 点 A 到平面 的距离 d 故答案为 求出 点 A 到平面 的距离 d 由此能求出结果 本题考查点到平面的距离的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意向量法的合理运 用 15 答案 解析 解 2 令 y 2

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