《2020年广西高二（下）期中数学试卷解析版（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年广西高二（下）期中数学试卷解析版（理科）（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 14 页 期中数学试卷 理科 期中数学试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 下列命题中 若 A B 则 AB 若 A A 则 一定相交于一 条直线 设为 m 且 A m 经过三个点有且只有一个平面 若 a b c b 则 a c 确命题的个数 A 1B 2C 3D 4 2 以 x 为准线的抛物线的标准方程为 A B x2 yC D y2 x 3 等比数列 an 中 a2 9 a5 243 an 的前 4 项和为 A 81B 120C 168D 192 4 已知 a b R 则下列命题正确的是 A 若 a b 则 a2 b2B
2、 若 a b 则 a2 b2 C 若 a b 则 a2 b2D 若 a b 则 a2 b2 5 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若 m n 则 m n 若 m 则 m 若 m n 则 m n 若 则 其中正确命题的序号是 A 和 B 和 C 和 D 和 6 已知平面的一条斜线 a 和它在平面内的射影的夹角是 45 且平面内的直线 b 和斜 线 a 在平面内的射影的夹角是 45 则直线 a b 所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 7 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB E 为 AA1中点 则异面直线 BE 与 AD1 所形
3、成角的余弦值为 A B C D 8 设条件甲 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 棱长都相等 条件乙 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1是正方体 那么甲是乙的 A 充分必要条件B 充分非必要条件 C 必要非充分条件D 既非充分也非必要条件 9 已知两条直线 l1 m 3 x 4y 3m 5 0 l2 2x m 5 y 8 0 l1 l2 则直线 l1 的一个方向向量是 A 1 B 1 1 C 1 1 D 1 10 三棱锥 P ABC 的高为 PH 若三条侧棱与底面所成的角相等 则 H 为 ABC 的 A 内心B 外心C 垂心 D 重心 11 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 已知
4、 AB 1 D 在棱 BB1上 且 BD 1 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 第 2 页 共 14 页 A B C D 12 一个盛满水的三棱锥容器 S ABC 中 不久发现三条侧棱上各有一个小洞 D E F 且知 SD DA SE EB CF FS 2 1 若仍用这个容器盛水 则最多可盛原来水 的 A B C D 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 用一个平面去截正方体 其截面是一个多边形 则这个多边形的边数最多是 14 已知 PA 平面 ABC ABC 是直角三角形 且 AB AC 2 PA 3 则点 P 到直线 BC 的距离是 15 已知正四棱锥 P
5、 ABCD 的高为 4 侧棱与底面所成的角为 60 则该正四棱锥的侧 面积是 16 已知 ABC 的顶点 A 5 0 B 5 0 顶点 C 在双曲线 1 上 则 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 0 分 17 已知向量 sin cos 2sin 1 2 1 若 求 tan 的值 2 若 求 的值 18 P 是正角形 ABC 所在平面外一点 M N 分别是 AB 和 PC 的中点 且 PA PB PC AB a 1 求证 MN 是 AB 和 PC 的公垂线 2 求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离 第 3 页 共 14 页 19 如图所示 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C
6、1D1中 E F 分别为 DD1 DB 的中点 1 求证 EF 平面 ABC1D1 2 求证 EF B1C 3 求三棱锥的体积 20 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 已知 AB 3 AD 2 PA 2 PD 2 PAB 60 证明 AD 平面 PAB 求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小 求二面角 P BD A 的大小 第 4 页 共 14 页 21 已知点 x y 在曲线 C 上 将此点的纵坐标变为原来的 2 倍 对应的横坐标不变 得到的点满足方程 x2 y2 8 定点 M 2 1 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截 距为 m m 0 直线 l 与曲线
7、 C 交于 A B 两个不同点 1 求曲线 C 的方程 2 求 m 的取值范围 22 已知点 Pn an bn n N 都在直线 l y 2x 2 上 P1为直线 l 与 x 轴的交点 数列 an 成等差数列 公差为 1 求数列 an bn 的通项公式 若问是否存在 k N 使得 f k 5 2f k 2 成立 若存在 求出 k 的值 若不存在 说明理由 求证 n 2 n N 第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 若 A B 则 AB 根据公理 1 可知正确 若 A A 则 一定相交于一条直线 设为 m 且 A m 根据公理 2 可知正 确 经过三个点有且只有
8、一个平面 不正确 当三点在一直线上不正确 若 a b c b 则 a c 不正确 a 与 c 可能异面或相交 故选 B 对于 根据公理 1 可知正确 对于 根据公理 2 可知正确 对于 当三点在一直线上 不正确 对于 列举出所以可能 a 与 c 可能异面或相交 从而得到结论 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系 以及直线与直线之间的位置关系 考查空间想象能力 逻辑思维能力 属于基础题 2 答案 D 解析 解 由题意可知 p 且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为 y2 2px 将 p 代入可得 y2 x 故选 D 先根据准线求出 p 的值 然后可判断抛物
9、线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上进而可 设抛物线的标准形式 将 p 的值代入可得答案 本题主要考查抛物线的标准方程 解答关键是根据准线的位置得出抛物线的焦点坐标和 焦参数 属基础题 3 答案 B 解析 分析 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列前 n 项和公式化简求值 是一道中档 题 根据等比数列的性质可知 等于 q3 列出方程即可求出 q 的值 利用 即可求出 a1的值 然后利用等比数列的首项和公比 根据等比数列前 n 项和公式即可求出 an 的前 4 项 和 解答 解 因为 q3 27 解得 q 3 又 a1 3 则等比数列 an 的前 4 项和 S4 120 故选 B 4
10、答案 C 解析 解 选项 A 取 a 1 b 2 显然满足 a b 但不满足 a2 b2 故错误 选项 B 取 a 1 b 2 显然满足 a b 但不满足 a2 b2 故错误 选项 D 取 a 1 b 1 显然满足 a b 但 a2 b2 故错误 第 6 页 共 14 页 选项 C 由 a b 和不等式的性质 平方可得 a2 b2 故正确 故选 C 举反例可排除 ABD 至于 C 由不等式的性质平方可证 本题考查不等式与不等关系 举反例是解决问题的关键 属基础题 5 答案 A 解析 分析 本题考查了空间中线线 线面 面面的位置关系 属于中档题 根据线面平行性质定理 结合线面垂直的定义 可得 是
11、真命题 根据面面平行的性质 结合线面垂直的性质 可得 是真命题 在正方体中举出反例 可得平行于同一个平面 的两条直线不一定平行 垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行 可得 不正确 由此可得本题的答案 解答 解 对于 因为 n 所以经过 n 作平面 使 l 可得 n l 又因为 m l 所以 m l 结合 n l 得 m n 由此可得 是真命题 对于 因为 且 所以 结合 m 可得 m 故 是真命题 对于 设直线 m n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线 而平面 是正方体下底面所在的平面 则有 m 且 n 成立 但不能推出 m n 故 不 正确 对于 设平面 是位于正方体经过同一个顶点的
12、三个面 则有 且 但是 推不出 故 不正确 综上所述 其中正确命题的序号是 和 故选 A 6 答案 C 解析 解 如图 设直线 a 交平面 于点 O 在直线 a 上任取 一点 A 过点 A 作平面 的垂线 垂足为 B 连接 OB 则 AOB 45 再过点 B 作 BC b 垂足为 C 连接 AC 则 AC b 且 BOC 45 设 OB m 则 在 Rt AOC 中 AOC 60 故选 C 可设设直线 a 交平面 于点 O 在直线 a 上任取一点 A 过点 A 作平面 的垂线 垂足 为 B 连接 OB 则 AOB 45 再过点 B 作 BC b 垂足为 C 连接 AC 则 AC b 且 BOC
13、 45 然后可设 OB m 从而在 Rt AOC 中可得出 从而可得出直 线 a b 所成的角 本题考查了线面角 线线角的定义及求法 线面垂直的判定定理 余弦函数的定义 考 查了计算能力 属于基础题 7 答案 C 解析 解 如图 以点 D 为原点 分别以直线 DA DC DD1为 x y z 轴 建立空 间直角坐标系 设 AB 1 则 第 7 页 共 14 页 A 1 0 0 D1 0 0 2 B 1 1 0 E 1 0 1 异面直线 BE 与 AD1所形成角的余弦值为 故选 C 可分别以直线 DA DC DD1为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 并设 AB 1 从而 可得出 A D1 B
14、 E 的坐标 从而得出向量z 的坐标 进而可求出 从而得出异面直线 BE 与 AD1所形成角的余弦值 本题考查了通过建立空间直角坐标系 利用向量的坐标解决异面直线所成角的问题的方 法 向量夹角的余弦公式 异面直线所成角的定义 考查了计算能力 属于基础题 8 答案 C 解析 解 根据直四棱柱的定义 侧棱垂直于底面 底面是四边形的棱柱四棱柱叫做 直四棱柱 对于命题甲 若直四棱柱的棱长都相等 则底面四边形是菱形 因此此直四棱柱未必是 正方体 则命题甲推不出命题乙 对于命题乙 正方体一定是棱长都相等的直四棱柱 则命题乙推出命题甲 因此 命题甲是命题乙的必要不充分条件 故选 C 根据直四棱柱的定义 侧棱
15、垂直于底面 底面是四边形的棱柱四棱柱叫做直四棱柱 对 于命题甲 若直四棱柱的棱长都相等 则底面四边形是菱形 因此此直四棱柱未必是正 方体 对于命题乙 正方体一定是棱长都相等的直四棱柱 再由充分必要条件的定义推 出结果即可 本题考查了直四棱柱的概念 充分必要条件的定义 考查了逻辑推理能力 属于基础题 9 答案 B 第 8 页 共 14 页 解析 解 m 0 时 l1不平行 l2 l1 l2 解得 m 7 直线 l1为2x 2y 13 0 直线 l1 的斜率为 1 直线 l1的一个方向向量为 1 1 故选 B 利用两直线平行时 一次项系数之比相等 但不等于常数项之比 求出 m 的值 然后 求出直线
16、 l1 的斜率 根据一个与直线平行的向量都是该直线的方向向量 求得结果 本题考查两直线平行条件以及方向向量 解题过程中要注意两直线平行时一次项系数之 比相等 但不等于常数项之比 属于基础题 10 答案 B 解析 解 三棱锥 P ABC 的高为 PH 若三条侧棱与底面所成的角相等 故 PHA PHB PHC 都是直角三角形 PH 是公共边 PAH PBH PCH PHA PHB PHC HA HB HC 故 H 是 ABC 外心 故选 B 顶点在底面上的射影 以及侧棱与底面的夹角 构成的三个三角形是全等三角形 推出 垂足到三个顶点距离相等 可得结果 本题考查棱锥的结构特征 考查逻辑思维能力 是基础题 11 答案 A 解析 解答 解 如图 取 C1A1 CA 的中点 E F 连接 B1E 与 BF 所以 B1E A1C1 B1E A1A 又 A1C1A1A A1 A1C1 A1A平面 CAA1C1 所以 B1E 平面 CAA1C1 过 D 作 DH B1E 则 DH 平面 CAA1C1 连接 AH 则 DAH 即为 AD 与平面 AA1C1C 所成角 所以 DH B1E DA 所以 sin
