《2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题含答案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生北京卷理工农医类北京卷理工农医类数学试题数学试题 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 奎屯 王新敞 新疆第 I 卷 1 至 2 页 奎屯 王新敞 新疆第 II 卷 3 至 9 页 奎屯 王新敞 新疆 共 150 分 奎屯 王新敞 新疆考试时间 120 分钟 奎屯 王新敞 新疆 第第 I 卷 选择题卷 选择题 共共 40 分 分 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目用铅笔涂写在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干
2、净后 再选涂其他答案 不能答在试题卷上 奎屯 王新敞 新疆 3 考试结束 监考人将本试卷和答题卡一并收回 奎屯 王新敞 新疆 参考公式 三角函数的积化和差公式 sincos sin sin 1 2 cossin sin sin 1 2 coscos cos cos 1 2 sinsin cos cos 1 2 正棱台 圆台的侧面积公式 Sc c l 台侧 1 2 其中 c c 分别表示上 下底面周长 l表示斜高或母线长 球体的表面积公式SR 球 4 2 其中 R 表示球的半径 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 奎屯 王新敞 新疆在每小题给出的四个选项中 只有一 项是
3、符合题目要求的 奎屯 王新敞 新疆 1 设全集是实数集 R Mxx 22 Nx x 1 则MN 等于 A x x 2 B xx 21 C x x 1 D xx 21 2 满足条件 zii 34的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 A 一条直线 B 两条直线 C 圆 D 椭圆 3 设 m n 是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若m n 则m n 若 m 则m 若m n 则mn 若 则 其中正确命题的序号是 A 和 B 和 C 和 D 和 4 如图 在正方体ABCDA B C D 1111中 P 是侧面BB C C11 内一动点 若 P 到直 线 BC 与直线C D 11的距离
4、相等 则动点 P 的轨迹所在的曲线是 AB C D A1 B1 C1 D1 P A 直线 B 圆 C 双曲线 D 抛物线 5 函数f xxax 2 23在区间 1 2 上存在反函数的充分必要条件是 A a 1 B a 2 C a 12 D a 12 6 已知 a b c 满足cba 且ac 0 那么下列选项中一定成立的是 A abac B c ba 0 C cbab 22 D ac ac 0 7 从长度分别为 1 2 3 4 5 的五条线段中 任取三条的不同取法共有 n 种 奎屯 王新敞 新疆在这 些取法中 以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为 m 则 m n 等于 A 1 10 B
5、 1 5 C 3 10 D 2 5 8 函数f x x xP x xM 其中 P M 为实数集 R 的两个非空子集 又规定 f Py yf x xP f My yf x xM 给出下列四个判断 若PM 则f Pf M 若PM 则f Pf M 若PMR 则f Pf MR 若PMR 则f Pf MR 其中正确判断有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 第 II 卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 奎屯 王新敞 新疆把答案填在题中横线上 奎屯 王新敞 新疆 9 函数f xxxx cossin cos 22 3的最小正周期是 10 方
6、程lg lglg4223 xx 的解是 11 某地球仪上北纬30 纬线的长度为12 cm 该地球仪的半径是 cm 表面积是 cm2 12 曲线 C x y cos sin 1 为参数 的普通方程是 如果曲线 C 与直线xya 0有公共点 那么实数 a 的取值范围是 13 在函数f xaxbxc 2 中 若 a b c 成等比数列且f 04 则f x 有最 值 填 大 或 小 且该值为 14 定义 等和数列 在一个数列中 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常 数 那么这个数列叫做等和数列 这个常数叫做该数列的公和 奎屯 王新敞 新疆 已知数列 an是等和数列 且a12 公和为 5 那么a18的
7、值为 这 个数列的前 n 项和Sn的计算公式为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 奎屯 王新敞 新疆解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15 本小题满分 13 分 在 ABC中 sincosAA 2 2 AC 2 AB 3 求tgA的值和 ABC的面积 16 本小题满分 14 分 如图 在正三棱柱ABCA B C 111中 AB 3 AA1 4 M 为AA1的中点 P 是 BC 上一点 且由 P 沿棱柱侧面经过棱CC1到 M 的最短路线长为29 设这条最短路线与CC1 的交点为 N 求 I 该三棱柱的侧面展开图的对角线长 II PC 和 NC 的长 III
8、平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 锐角 的大小 用反三角函数表示 A B C A1 B1 C1 P N M 17 本小题满分 14 分 如图 过抛物线ypx p 2 20 上一定点 P xy 00 y00 作两条直线分别交 抛物线于 A xy 11 B xy 22 I 求该抛物线上纵坐标为 p 2 的点到其焦点 F 的距离 II 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时 求 yy y 12 0 的值 并证明直线 AB 的斜 率是非零常数 y P O x A B 18 本小题满分 14 分 函数f x 是定义在 0 1 上的增函数 满足f xf x 2 2 且f 11 在每个区 间
9、1 2 1 2 1ii i 1 2 上 yf x 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分 奎屯 王新敞 新疆 I 求f 0及f 1 2 f 1 4 的值 并归纳出fi i 1 2 12 的表达式 II 设直线x i 1 2 x i 1 2 1 x 轴及yf x 的图象围成的矩形的面积为ai i 1 2 记S kaaa n n lim 12 求S k 的表达式 并写出其定义域和最小值 19 本小题满分 12 分 某段城铁线路上依次有 A B C 三站 AB 15km BC 3km 在列车运行时刻表 上 规定列车 8 时整从 A 站发车 8 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟 8 时
10、12 分到达 C 站 在实际运行中 假设列车从 A 站正点发车 在 B 站停留 1 分钟 并在行驶时以同一速度 vkm h 匀速行驶 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车 在该站的运行误差 奎屯 王新敞 新疆 I 分别写出列车在 B C 两站的运行误差 II 若要求列车在 B C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟 求v的取值范围 20 本小题满分 13 分 给定有限个正数满足条件 T 每个数都不大于 50 且总和 L 1275 奎屯 王新敞 新疆现将这些数按下列要 求进行分组 每组数之和不大于 150 且分组的步骤是 首先 从这些数中选择这样一些数构成第一组 使
11、得 150 与这组数之和的差r1与所有可 能的其他选择相比是最小的 r1称为第一组余差 然后 在去掉已选入第一组的数后 对余下的数按第一组的选择方式构成第二组 这时 的余差为r2 如此继续构成第三组 余差为r3 第四组 余差为r4 直至第 N 组 余差为rN 把这些数全部分完为止 奎屯 王新敞 新疆 I 判断r rrN 12 的大小关系 并指出除第 N 组外的每组至少含有几个数 II 当构成第 n n N 组后 指出余下的每个数与rn的大小关系 并证明 r nL n n 1 150 1 III 对任何满足条件 T 的有限个正数 证明 N 11 2004 年普通高等学校招生年普通高等学校招生北京
12、卷理工农医类北京卷理工农医类数学试题数学试题 参考答案 一 选择题 本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分 满分 40 分 奎屯 王新敞 新疆 1 A 2 C 3 A 4 D 5 D 6 C 7 B 8 B 二 填空题 本大题主要考查基本知识和基本运算 奎屯 王新敞 新疆每小题 5 分 满分 30 分 奎屯 王新敞 新疆 9 10 xx 12 01 11 4 3 192 12 xy 22 11 1212 a 13 大 3 14 3 当 n 为偶数时 Sn n 5 2 当 n 为奇数时 Sn n 5 2 1 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 奎屯 王新
13、敞 新疆解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 奎屯 王新敞 新疆 15 本小题主要考查三角恒等变形 三角形面积公式等基本知识 考查运算能力 奎屯 王新敞 新疆满 分 13 分 奎屯 王新敞 新疆 解法一 sincoscos cos AAA A 245 2 2 45 1 2 又0180 A AA tgAtg 4560105 4560 13 13 23 sinsinsin sincoscossinA 105456045604560 26 4 SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin 解法二 sincosAA 2 2 1 sincos sincos sin cos
14、AA AA AAA 2 1 2 2 1 2 018000 sincos sincosAAAA 2 12 3 2 sincosAA 6 2 2 1 2 得 sin A 26 4 1 2 得 cosA 26 4 tgA A A sin cos 26 4 4 26 23 以下同解法一 16 本小题主要考查直线与平面的位置关系 棱柱等基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 奎屯 王新敞 新疆 解 I 正三棱柱ABCA B C 111的侧面展开图是一个长为 9 宽为 4 的矩形 其对角 线长为9497 22 II 如图 1 将侧面BB C C 11 绕棱CC
15、1旋转120 使其与侧成AA C C 11 在同一平面上 点 P 运动到点P1的位置 连接MP 1 则MP1就是由点 P 沿棱柱侧面经过棱CC1到点 M 的 最短路线 A B C A1 B1 C1 P N M P1 设PCx 则PCx 1 在Rt MAP 1中 由勾股定理得 3229 22 x 求得x 2 PCPC NC MA PC P A NC 1 1 1 2 2 5 4 5 III 如图 2 连结PP 1 则PP1就是平面 NMP 与平面 ABC 的交线 作NH PP 1于 H 又CC1 平面 ABC 连结 CH 由三垂线定理得 CH PP 1 A B C A1 B1 C1 P N M P
16、1 H NHC就是平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角的平面角 锐角 在Rt PHC 中 PCHPCP 1 2 60 1 CH PC 2 1 在Rt NCH 中 tg NHC NC CH 4 5 1 4 5 故平面 NMP 与平面 ABC 所成二面角 锐角 的大小为arctg 4 5 17 本小题主要考查直线 抛物线等基本知识 考查运用解析几何的方法分析问题和 解决问题的能力 奎屯 王新敞 新疆满分 14 分 解 I 当y p 2 时 x p 8 又抛物线ypx 2 2 的准线方程为x p 2 由抛物线定义得 所求距离为 ppp 82 5 8 y P O x A B 2 设直线 PA 的斜率为kPA 直线 PB 的斜率为kPB 由ypx 1 2 1 2 ypx 0 2 0 2 相减得 yyyyp xx 101010 2 故k yy xx p yy xx PA 10 1010 10 2 同理可得k p yy xx PB 2 20 20 由 PA PB 倾斜角互补知kk PAPB 即 22 1020 p yy p yy 所以yyy 120 2 故 yy y 12 0 2 设直线 AB
