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1、第2章 圆锥曲线与方程章末检测试卷(二)(时间:120分钟满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)1.平面直角坐标系xOy中,椭圆1的离心率是_.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案解析由题意可知,a2,b,c1,由椭圆的离心率e.2.双曲线1的两条渐近线的方程为_.考点圆锥曲线几何性质题点求双曲线渐近线方程答案yx解析由双曲线方程可知a4,b3,所以两条渐近线方程为yx.3.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx,则该双曲线的离心率为_.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案解析设双曲线的方程为1,则它的渐近线方程为yx,故,因此离心率为e.4.双曲线x2y
2、2a2(a0)的右焦点与抛物线y24x的焦点重合,则a_.考点圆锥曲线方程题点焦点问题答案解析双曲线x2y2a2的右焦点的坐标为(a,0),抛物线y24x的焦点为(1,0),从而a1,故a.5.若双曲线的顶点为椭圆x21长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的标准方程为_.考点圆锥曲线几何性质题点由离心率问题求曲线方程答案1解析由椭圆x21的离心率为,则双曲线的离心率为,且双曲线的顶点为(0,),故双曲线的标准方程为1.6.双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是_.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案m1解析由e221m2,得m1.7.如图,F1,F2是双曲线C1:
3、x21与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若F1F2F1A,则椭圆C2的离心率是_.考点圆锥曲线方程题点求离心率问题答案解析由题意知,F1F2F1A4.F1AF2A2,F2A2,F1AF2A6,又F1F24,椭圆C2的离心率是.8.已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上,则双曲线方程为_.考点圆锥曲线几何性质题点求双曲线方程答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx,又渐近线过点(2,),所以,即2ba.抛物线y24x的准线方程为x,由已知得,即a2b27,联立解得a24,b23,所以双曲线方程为1.9.设圆锥曲线的两个焦
4、点分别为F1,F2,若曲线上存在点P满足PF1F1F2PF2432,则曲线的离心率为_.考点圆锥曲线方程题点求离心率问题答案或解析由题意可设PF14m,F1F23m,PF22m.当圆锥曲线是椭圆时,长轴长为2aPF1PF24m2m6m,焦距为2cF1F23m,所以离心率e;当圆锥曲线是双曲线时,实轴长为2aPF1PF24m2m2m,焦距为2cF1F23m,所以离心率e.故e或.10.已知二次曲线1(k3,k0)与1,则下列说法正确的是_.(填序号)有不同的顶点;有不同的准线;有相同的焦点;有相同的离心率.考点圆锥曲线方程题点几何性质判断答案解析当0k3时,则03k3,1表示实轴为x轴的双曲线,
5、a2b23c2.两曲线有相同的焦点;当kk0,1表示焦点在x轴上的椭圆.a23k,b2k.a2b23c2,与已知椭圆有相同的焦点.综上,二次曲线1与1有相同的焦点.11.椭圆1上一点P到两焦点的距离之积为m,则m取最大值时,P点坐标是_.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用答案(0,3)或(0,3)解析PF1PF22a10,PF1PF2225.当且仅当PF1PF25时,取得最大值,此时P点是短轴端点,即P点坐标是(0,3)或(0,3).12.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线x2y的图象上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为_.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用答案4解析
6、由已知可得AB2,要使SABC2,则点C到直线AB的距离必须为,设C(x,x2),而lAB:xy20,所以有,所以x2x22,当x2x22时,有两个不同的C点;当x2x22时,亦有两个不同的C点.因此满足条件的C点有4个.13.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为_.答案解析椭圆1的右焦点为(1,0),所以直线方程为y2(x1).联立得3y22y80.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1,y2是3y22y80的两根,所以y12,y2.所以SOABSOFASOFBOF|y1y2|1.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B
7、1,B2为椭圆1(ab0)的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为_.考点直线与圆锥曲线关系题点求离心率问题答案25解析直线A1B2的方程为1;直线B1F的方程为1.二者联立解得T,又M在椭圆1(ab0)上,故1,e210e30,解得e25或e25.又0eb0),c.设双曲线方程为1,ma4.,易得a7,m3.b236,n24.椭圆的标准方程为1,双曲线的标准方程为1.若焦点在y轴上,同理可得椭圆的标准方程为1,双曲线的标准方程为1.16.(14分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点,斜率为2的直线l交抛物线于
8、A,B两点,且AB5.(1)求此抛物线方程;(2)若M(1,2)是抛物线上一点,求的值.考点直线与抛物线的位置关系题点求抛物线方程和其他运算解(1)因为焦点坐标为F,所以直线l的方程为y2.由消去y,得4x26pxp20.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,ABx1x2p5,p2,抛物线方程为y24x.(2)方程化为x23x10,x1x23,x1x21,直线l的方程为y2x2,(x11,y12)(x21,y22)(x11)(x21)(y12)(y22)(x11)(x21)(2x14)(2x24)5x1x29(x1x2)17527175.17.(14分)如图,F1,F2分别是椭圆C
9、:1(ab0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,F1AF260.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知AF1B的面积为40,求a,b的值.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用解(1)F1AF260a2ce.(2)设BF2m,则BF12am,在BF1F2中,BFBFF1F2BF2F1F2cos120(2am)2m2a2amma.AF1B的面积为SF1ABAsin60a40a10,c5,b5.综上a10,b5.18.(16分)已知双曲线C1:x21.(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:yxm分别与双曲线C1的两条渐
10、近线相交于A,B两点.当3时,求实数m的值.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线位置关系的运用解(1)双曲线C1:x21,焦点坐标为(,0),(,0).设双曲线C2的标准方程为1(a0,b0),双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,),解得双曲线C2的标准方程为y21.(2)双曲线C1的两条渐近线为y2x,y2x.由可得xm,y2m,A(m,2m).由可得xm,ym,B.m2m2m2.3,m23,m.19.(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,且b2.(1)求椭圆的离心率;(2)已知a2,四边形ABCD内接于
11、椭圆,ABDC.记直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.考点椭圆方程与几何性质题点椭圆方程与几何性质的综合运用解(1)A(a,0),B(0,b),由M为线段AB的中点得M.所以,(a,b).因为b2,所以(a,b)b2,整理得a24b2,即a2b.因为a2b2c2,所以cb.所以椭圆的离心率e.(2)方法一由a2,得b1,故椭圆方程为y21.从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为.因为ABDC,故可设DC的方程为yxm.设D(x1,y1),C(x2,y2).联立消去y,得x22mx2m220,所以x1x22m,从而x12mx2.直线AD的斜率k1,直线BC的斜率
12、k2,所以k1k2,即k1k2为定值.方法二由a2,得b1,故椭圆方程为y21.从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为.设C(x0,y0),则y1.因为ABCD,故CD的方程为y(xx0)y0.联立消去y,得x2(x02y0)x2x0y00,解得xx0(舍去)或x2y0.所以点D的坐标为.所以k1k2,即k1k2为定值.20.(16分)如图,已知椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,M在PF1上,且满足(R),POF2M,O为坐标原点.(1)若椭圆方程为1,且P(2,),求点M的横坐标;(2)若2,求椭圆离心率e的取值范围.考点椭圆方程与几何性质题点椭圆方程与几何性质的综合运用解(1)1,F1(2,0),F2(2,0),kOP,kF2M,kF1M,直线F2M的方程为y(x