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1、高等数学（二）第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 （了解） 设在某个变化过程中有两个变量和，变量随变量的变化而变化。当变量在一个非空实数集合上取某一个数值时，变量依照某一对应规则总有唯一确定的数值与之对应，则称变量是变量的函数，记为，其中叫做自变量，叫做因变量或函数。 数集称为这个函数的定义域，记为或。 当取定值时所对应的的数值或，称为当时，函数的函数值。 全体函数值的集合称为函数的值域，记为或。2.分段函数 （了解）函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。形如：例如：就是定义在内的分段函数。3.隐函数 （了
2、解）函数与自变量的对应规则用一个方程表示的函数，称为隐函数。例如就是一个隐函数。4.反函数 （了解）二、函数的简单性质1.函数的单调性 （了解）设函数在区间内有定义，如果对于内的任意两点，若恒有,则称在区间内单调增加；若恒有,则称在区间内单调减少；若恒有,则称在区间内严格单调增加；若恒有,则称在区间内严格单调减少。2.函数的奇偶性： （了解）设函数的定义区间D关于原点对称（即若，则有）。如果对于定义区间内的任意点，恒有，则称为D内的偶函数；如果恒有，则称为内的奇函数。 偶函数： 奇函数： 3.函数的周期性 （了解） 周期函数：， 周期：T最小的正数 4.函数的有界性 （了解） ，三、基本初等函
3、数1.常数函数： y=c ， (c为常数)2.幂函数： y=xn , (n为实数)3.指数函数： (a0、a1)4.对数函数： ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x四、复合函数和初等函数1.复合函数 2.初等函数 （了解） 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数第二节 极 限一、极限的概念1.数列的极限: 定义 对于数列，如果当
4、时，数列无限地趋于一个固定的常数A，则称n趋于无穷大时，数列以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作 或 （当时）称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理: 若的极限存在必定有界.2.函数的极限： 当时，的极限： 当时，的极限：（重点） 左极限： 右极限：函数极限存在的充要条件：二、无穷大量和无穷小量1、无穷大量： 称在该变化过程中为无穷大量。 X在某个变化过程是指： 2、无穷小量： 称在该变化过程中为无穷小量。3、无穷大量与无穷小量的关系： 定理：4、无穷小量的比较： 若,则称是比较高阶的无穷小量；若（c为常数），则称与同阶的无穷小量； 若，则称与是等价的无穷小量，记作：； 若,则称是比较
5、低阶的无穷小量。定理：若： 则： 三、夹逼性定理1、数列极限存在的判定准则： 设： （n=1、2、3） 且： 则：2、函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有： 且： 则：四、极限的运算规则（重点） 若： 则： 推论： 五、两个重要极限（重点） 1 或 2 第三节 连 续一、函数的边续性1、函数在处连续定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋于0时，相应的函数该变量也趋于0，即，则称函数在点处连续。定义2 设函数在点的某个邻域内有定义，如果当时，函数的极限值存在，且等于处的函数值，即则称函数在点处连续。2、左连续、右连续 定义 设函数，
6、如果，则称函数在点处左连续；设函数，如果，则称函数在点处右连续。 3、函数在处连续的必要条件： 定理：在处连续在处极限存在4、函数在处连续的充要条件： 定理： 5、函数在上连续 定义 如果函数在上每一点都连续，则称在内连续。如果在内连续，且在左端点处右连续，即；在右端点处左连续，即，则称函数在上连续。 二、函数的间断点若在处不连续，则为的间断点。间断点有三种情况： 1o在处无定义； 2o不存在；3o在处有定义，且存在，但。三、函数在处连续的性质1、连续函数的四则运算 设， 1o 2o 3o 2、复合函数的连续性（了解） 则：3、反函数的连续性（了解） 四、函数在上连续的性质1、最大值与最小值定
7、理：在上连续在上一定存在最大值与最小值。2、有界定理： 在上连续在上一定有界。3、介值定理： 在上连续在内至少存在一点 ，使得：， 其中： 推论（零点定理）： 在上连续，且与异号 在内至少存在一点c，使得：。4.初等函数的连续性： 初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学第一节 导数与微分一、导数的概念1导数的定义定义 设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应地函数y取得增量。如果当时，函数的增量与自变量的增量之比的极限存在，则称此极限值为函数在处的导数，并称函数在处可导，记作，即。由于，则，当时也即，于是上式又可写成 2左导数与右导数左导数：
8、右导数：定理：在的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在； 则：（或：）3.函数可导的必要条件： 定理：在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件： 定理：存在， 二、求导法则 1、基本求导公式：（1）（为常数） （2）（为任意常数，只要掌握为整数）（3） ， （4） ， （5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （11） 2、导数的四则运算： 1o 2o 3o 3、复合函数的导数： ，或 注意与的区别： 表示复合函数对自变量求导； 表示复合函数对中间变量求导。4、隐函数的导数5、高阶导数： 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。三、微分的概念 1、微分：在的某个邻域内有定义，
9、 其中：与无关，是比较高阶的无穷小量，即： 则称在处可微，记作： 2、导数与微分的等价关系： 定理：在处可微在处可导，且 3、微分形式不变性： 不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分都具有相同的形式。第二节 洛必达（LHospital）法则洛必达法则 （重点） 1、“”型不定式定理：和满足条件：； 在点a的某个邻域内可导，且； 则：2、“”型不定式定理：和满足条件：； 在点a的某个邻域内可导，且； 则：注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件，不能使用法则。 即不是型或型时，不可求导。 3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求
10、导。 4o若和还满足法则的条件， 可以继续使用法则，即： 5o若函数是型可采用代数变 形，化成或型；若是型可 采用对数或指数变形，化成或型。第三节 导数的应用1 切线方程和法线方程设：切线方程为：法线方程为： 2 曲线的单调性：（1）在内单调增加（2）在内单调减少（3）在内严格单调增加 （4）在内严格单调减少 3.函数的极值：极值的定义：设在内有定义，是内的一点；若对于的某个邻域内的任意点，都有：则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。 极值存在的必要条件：定理： 称为的驻点 极值存在的充分条件： 定理一：当渐增通过时，由（+）变（）；则为极大值； 当渐增通过时，由（）变
11、（+）；则为极小值。定理二： 若，则为极大值； 若，则为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4曲线的凹向及拐点：若；则在内是上凹的（或凹的），（）；若；则在内是下凹的（或凸的），（）； 5曲线的渐近线： 水平渐近线： 铅直渐近线：第三章 一元函数积分学第一节 不定积分一、重要的概念及性质1原函数：设 若： 则称是的一个原函数， 并称是的所有原函数, 其中C是任意常数。2不定积分： 函数的所有原函数的全体，称为函数的不定积分；记作： 其中：称为被积函数；称为被积表达式；称为积分变量。 3. 不定积分的性质： 或： 或： (k为非零常数) 4.基本积分公式：二、换元积分法 第
12、一换元法：（又称“凑微元”法）（重点） 常用的凑微元函数有： 1o 2o 3o 4o 5o 6o 2.第二换元法： 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数， 其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o (当被积函数中有时) 2o (当被积函数中有时) 3o (当被积函数中有时) 4o (当被积函数中有时)三、分部积分法 （重点） 1. 分部积分公式： 2.分部积分法主要针对的类型： 其中： （多项式） 3.选u规律： 在三角函数乘多项式中，令，其余记作dv;简称“三多选多”。 在指数函数乘多项式中，令，其余记作dv;简称“指多选多”。 在多项式乘对数函数中，令，其余记作dv;简称“多对选对”。 在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为u，其余记作dv;简称“多反选反”。 在指数函数乘三角
