《2020年河南省中考数学压轴题专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年河南省中考数学压轴题专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题12 击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转模型二、K字型及其旋转【例1】（2019济源一模）在菱形 ABCD 中，ABC=60，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，点 E 的位置随着点 P 的位置变化而变化（1）探索发现如图1，当点E在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE填空：BP与CE的数量关系是 ，CE 与 AD 的位置关系是（2）归纳证明当点E在菱形 ABCD 外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4，当点P在线段 BD 的延长线上时，连
2、接BE，若AB=，BE=，请直接写出四边形 ADPE 的面积 图1 图2 图3 图4【答案】（1）BP=CE，CEAD；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）连接AC，延长CE至AD，四边形ABCD是菱形，ABC=60，BAD=120，BAC=60，CAD=60，ABC是等边三角形，AB=AC，APE是等边三角形，AP=AE，PAE=60，BAP=CAE，BAPCAE，BP=CE，ABC=60，ABP=30，BAPCAE，ABP=ACE=30，CAD=60，ACE+CAD=90，即CDAD.（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC，设CE与AD交于点H，四边形ABCD是菱形，ABC
3、=60，ABC和ACD是等边三角形，ABD=CBD=30，AB=AC，BAC=60，APE是等边三角形，AP=AE，PAE=60，BAP=CAE，BAPCAE，BP=CE，ACE=ABP=30，CAH=60，AHC=90，即CEAD；（3）连接AC交BD于O，连接CE，由（2）知，CEBC，AB=，BE=，在RtBCF中，由勾股定理得：CE=8，由BAPCAE，得：BP=CE，BD=6，DP=BPBD=2，AO=，在RtAOP中，由勾股定理得：AP=，S=SADP+SAPE=8.【变式1-1】（2019周口二模）在ABC中，ABC为锐角，点M为射线AB上一动点，连接CM，以点C为直角顶点，以C
4、M为直角边在CM右侧作等腰直角三角形CMN，连接NB（1）如图1，图2，若ABC为等腰直角三角形，问题初现：当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，则线段BN，AM之间的位置关系是_，数量关系是_；深入探究:当点M在线段AB的延长线上时，判断线段BN，AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由；类比拓展:（2）如图3，ACB90，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MPCM交线段BN于点P，且CBA=45，BC=，当BM=_时，BP的最大值为_图1图2图3【答案】（1）BNAM，BN=AM；（2）见解析，（3）2， 1.【解析】解：（1）由AC=BC，ACM=BCN，CM=CN，可证A
5、CMBCN，BN=AM，A=CBN=45，ABN=90，即BNAM.（2）BNAM，BN=AM；理由如下：ABC是等腰直角三角形，AC=BC，A=ABC=45，ACB=90，同理，NCM=90，NC=MC,ACM=BCN，ACMBCN，BN=AM，A=CBN=45，ABN=90，即BNAM.(3)过C作CGBC交BA的延长线于G，过C作CHAB于H，如图所示，易证GCMBCN，由（2）知，BNAB，CHMMBP，,即,设BM=x，则BP=，当BM=2时，BP取最小值，最小值为1.【例2】（2018洛阳三模）在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.
6、（1）如图1，当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出ACE为等腰三角形时CE：CD的值；（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图若AD=2，试求出线段CP的最大值【答案】见解析.【解析】解：（1）AE=DF，AEDF，理由如下：四边形
7、ABCD是正方形，AD=DC，ADE=DCF=90，由题意知：DE=CF，ADEDCF，AE=DF，DAE=FDC，ADE=90，ADP+CDF=90，ADP+DAE=90，APD=18090=90，AEDF；（2）（1）中的结论还成立，CE：CD=或2，理由如下：如图，当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=a，则CE：CD=a：a=；如图，当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=a，四边形ABCD是正方形，ADC=90，即ADCE，DE=CD=a，CE：CD=2a：a=2；故，CE：CD=或2；（3）点P在运动中APD=90，点P
8、的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆Q于点P，此时CP的长度最大，在RtQDC中，由勾股定理得：QC=，CP=QC+QP=+1，即线段CP的最大值是+1【变式2-1】（2019西华县一模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF连接DE，过点E作EGDE，使EG=DE，连接FG，FC（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中
9、结论是否仍然成立？请直接写出你的判断图1 图2 图3【答案】（1）FG=CE，FGCE；（2）（3）见解析【解析】解：（1）FG=CE，FGCE；BF=CE，BC=CD，FBC=DCE=90，BCFCDE，DEC=CFB，CFB+FCB=90，DEC +FCB=90，即CFDE，DEEG，EGCF，EG=DE=CF，四边形FCEG是平行四边形，FG=CE，FGCE；（2）BF=CE，BC=CD，FBC=DCE=90，BCFCDE，DEC=CFB，CF=DE，CFB+FCB=90，DEC +FCB=90，即CFDE，DEEG，EGCF，EG=DE=CF，四边形FCEG是平行四边形，FG=CE，F
10、GCE；（3）成立由上可证：CBFDCE，得：BCF=CDE，CF=DE，EG=DE，CF=EG，DEEGDEC+CEG=90CDE+DEC=90CDE=CEG，BCF=CEG，CFEG，四边形CEGF平行四边形，FGCE，FG=CE1.（2019河南南阳一模）我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC，当+=180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD是ABC的旋补中线，点A叫旋补中心.特例感知：（1）在图2，图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD是ABC的旋补中线，
11、如图2，当ABC是等边三角形时，AD与BC的数量关系是如图3，当BAC=90，BC=8时，则AD的长为猜想论证：（2）如图1，当ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.【分析】（1）由ABC是等边三角形，得AB=BC=AC=AB=AC，BAC=60，BAC+BAC=180，得B=C=30，即BC=2AD；可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证得：BC=2AD，AD=4；（2）BC=2AD，利用倍长中线构造全等三角形，延长AD至M使DM=AD，连接BM，CM，证得ABCBAM，得BC=AM，BC=2AD.【解析】解：（1）ABC是等边三角形，AB=BC=AC=A
12、B=AC，BAC=60，DB=DC，ADBC，BAC+BAC=180，BAC=120，B=C=30，BC=2AD，即：答案为BC=2AD.BAC=90，BAC+BAC=180，BAC=BAC=90AB=AB，AC=AC，BACBAC，BC=BC，BD=DC，BC=2AD，BC=8，AD=4；（2）结论：BC=2AD，理由如下：如图，延长长AD至M使DM=AD，连接BM，CM，AD=DM，BD=DC，四边形ACMB是平行四边形，AC=BM=AC，BAC+BAC=180，ABM+BAC=180，BAC=ABM，AB=AB，BACABM，BC=AM，即BC=2AD.2.（2019郑州外国语测试）已知如图1所示，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D在AB上，DEAB交BC于E，点F是AE的中点，（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2所示，将BDE绕点B逆时针旋转（090），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出结论并证明；（3）将BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2，直接写出线段BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：（1）FD=FC，FDFC，理由如下：由题意知：ADE=ACE=90，AF=EF，DF=AF=EF=CF，FAD=FDA，FAC=FCA，DFE=FDA+F
