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1、2020 4 28 1 概率论与数理统计 Probability Statistics 2020 4 28 2 学期成绩的评定 学期成绩是下面两部分成绩的加权平均 一 平时成绩占30 由作业 考勤 上课表现等确定 二 期末考试占70 2020 4 28 3 第一章随机事件及其概率 1 1随机事件 2020 4 28 4 1 1 1随机现象与随机试验 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象 事前可预言的现象 例如 在标准大气压下 将水加热至100 必然沸腾 同性电荷必然排斥等等 在自然界和实际生活中 我们通常会遇到两类不同的现象 一类是确定性现象 另一类是非确定性现象 一随机现象 特征 条件完全
2、决定结果 非确定性现象 模糊现象随机现象 模糊现象 由事物本身含义不确定导致结果不确定的现象 例如 健康的人 稠密的深林 高大的山脉 等等 2020 4 28 5 随机现象 事前不可预言的现象 即在相同条件下重复进行试验 每次结果未必相同 或知道事物过去的状况 但未来的发展却不能完全肯定 例如 掷一枚硬币 可能出现正面向上 也可能出现反面向上 取 粒种子做发芽试验 观察发芽的种子粒数 结果可能是 粒 粒 粒种子发芽等等 特征 条件不能完全决定结果 确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含义确定 随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定 而模糊现象的不确
3、定性有两层含义 一是指事物本身的定义不确定 二是结果不确定 2020 4 28 6 模糊数学将数学的应用范围从清晰确定扩大到模糊现象的领域 而概率论与统计学则将数学的应用从必然现象扩大到随机现象的领域 对于随机现象 人们经过长期实践并深入研究之后 发现这类现象在大量重复试验或观察下 它的结果会呈现某种规律性 这种规律性我们称之为统计规律性 概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 数理统计是以概率论为基础 研究如何通过观察和试验认识自然规律和社会规律的一门方法论学科 2020 4 28 7 概率论的起源 概率论起源于15世纪中叶 肇事于所谓的 赌金分配问题 赌金分配问题 在一场赌博
4、中 某一方先胜6局便算赢家 那么 当甲方胜了4局 乙方胜了3局的情况下 因出现意外 赌局被中断 无法继续 此时 赌金应该如何分配 当时 有一答案是 应当按照4 3的比例把赌金分给双方 意大利科学家帕西奥尼给出的 2020 4 28 8 当时 许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理 因为 已胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金 而另一方则需要胜3局 并且至少有2局必须连胜 这样要困难得多 但是 人们又找不到更好的解决方法 在这以后100多年中 先后有多位数学家研究过这个问题 但均未得到过正确的答案 2020 4 28 9 直到1654年 一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向
5、帕斯卡请教 赌金分配问题 求助其对这种现象作出解释 引起了这位法国天才数学家的兴趣 帕斯卡接受了这些问题 但他没有立即去解决它 而是把它交给另一位法国数学家费尔马 之后 他们频频通信 互相交流 围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究 这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉 回荷兰后 他也开始就这方面展开研究 2020 4 28 10 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验 一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题 最后分别独立的解决了 分赌注问题 并将此题的解法向更一般的情况推广 从而建立了概率论的一个基本概念 数学期望 这是描述随机变量取值的平均水平的一个量 而惠更斯经过多年的潜心研究 也解
6、决了掷骰子中的一些数学问题 1657年 他将自己的研究成果写成了专著 论掷骰子游戏中的计算 这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著 因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡 费尔马和惠更斯 这一时期被称为组合概率时期 主要是计算各种古典概率 2020 4 28 11 费尔马的解法 费尔马注意到 如果继续赌下去 最多只要再赌4轮便可决出胜负 如果用 甲 表示甲方胜 用 乙 表示乙方胜 那么最后4轮的结果 不外乎以下16种排列 甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙甲乙甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙乙甲甲乙 2020 4 28 12 在这16种排列
7、中 当甲出现2次或2次以上时 甲方获胜 这种情况共有11种 当乙出现3次或3次以上时 乙方胜出 这种情况共有5种 因此 赌金应当按11 5比例分配 2020 4 28 13 帕斯卡的解法 帕斯卡解决这个问题则利用了他的 算术三角形 欧洲人常称之为 帕斯卡三角形 事实上 早在北宋时期中国数学家贾宪就在 黄帝九章算法细草 中讨论过 后经南宋数学家杨辉加以完善 并载入其著作 详解九章算法 一书中 这就是我们常说的杨辉三角形 11112113311464115101051 2020 4 28 14 帕斯卡利用这个三角形获得了从n件物品中一次取出r件的组合数 由上图可知 三角形第五行上的数恰好是 其中是
8、甲出现4次的组合数 是甲出现3次的组合数等等 因此赌金应按照的比例分配 这与费马得到的结果是完全一致的 2020 4 28 15 在他们之后 对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族 伯努利家族的几位成员 关于概率论的后续发展 可参见课本后面的附录1 2020 4 28 16 数理统计的起源 数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支 研究如何有效的收集 整理和分析受随机因素影响的数据 并对所考虑的问题作出推断或预测 为采取某种决策和行动提供依据或建议 统计学是一门很古老的科学 它起源于人口统计 社会调查等各种描述性统计活动 例如 在我国 公元前2250年 大禹治水 根据山川土质 人
9、力和物力的多寡 分全国为九州 在西方 公元前3050年 埃及建造金字塔 为征收建筑费用 对全国人口进行的普查和统计等都属于描述性的统计活动 早期的统计工作大都与国家实施统治有关 一般认为其学理研究始于古希腊的亚里斯多德时代 公元前384 322 迄今已有两千三百多年的历史 2020 4 28 17 现在 概率论与以它作为基础的数理统计学的应用范围愈来愈广泛 在自然科学 社会科学 工程技术 军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用 直观地说 卫星上天 导弹巡航 飞机制造 宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳 及时准确的天气预报 海洋探险 考古研究等更离不开概率论与数理统计 电子技术
10、发展 影视文化的进步 人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的 统计学的发展大致可分为古典时期 近代时期和现代时期三个阶段 进一步的了解可参见课本后面的附录1 数理统计 是统计学在第三个发展阶段所形成的所有收集和分析数据的新方法的一个综合性名词 2020 4 28 18 二 随机试验 对随机现象 在相同条件下可重复进行的观察或试验称为随机试验 简称试验 一般用E表示 可以是各类科学试验 也可以是对某些事物的某些特征的观察 2020 4 28 19 一些随机试验的例子 例1 1抛掷一枚硬币 观察正面H 反面T出现的情况 例1 2在分别写有数字1 2 10的10张卡片中任意抽取一张卡片 观
11、察其数字 例1 3投掷两枚骰子 观察朝上一面的点数 例1 4从一批灯泡中 任抽取一只 观察其使用寿命 2020 4 28 20 随机试验的三个特点 在相同条件下可重复进行 试验前由试验条件能预知试验的所有可能结果 且所有可能结果不止一个 每次试验前不能预知会出现哪一个结果 有时 我们也称满足以上三个特点的试验为随机试验 注 上面的结果指的是基本结果 2020 4 28 21 1 1 2样本空间随机事件 随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间 记为 的每个元素 即 的每一个可能的结果 称为E的一个样本点或基本事件 样本点 指的是基本结果 一 样本空间 2020 4 28 22 上面
12、提到的各试验的样本空间为 1 H T 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 1 1 2 1 6 2 1 2 2 2 6 3 1 3 2 3 6 4 1 4 2 4 6 5 1 5 2 5 6 6 1 6 2 6 6 4 t t 0 2020 4 28 23 二 随机事件 从本质上讲 随机事件就是关于随机试验结果的命题 从集合的角度来讲 随机事件是样本空间的子集 是由一部分样本点构成的集合 随机事件简称事件 常用英文字母A B C 表示 一个事件发生当且仅当属于它的某一个样本点出现 不必是基本结果 例如 在例1 2中 出现的数字是3 出现的数字是偶数 都是随机事件 记为 B 则B
13、 2 4 6 8 10 在一次具体的试验中 我们说B发生了当且仅当B中的样本点2 4 6 8 10中某一个出现 2020 4 28 24 随机事件的分类 试验最直接的可能结果 由若干个基本事件共同在一起才能表达的结果 必然事件不可能事件 每次试验必然发生的结果 记为 每次试验必不发生的结果 记为 由满足某种条件的样本点构成的集合 2020 4 28 25 显然 样本空间是以基本事件为元素的集合 复杂事件是样本空间的至少包含两个元素的真子集 基本事件就是一个单点集 必然事件就是样本空间 不可能事件是样本空间的空子集 从集合的角度看 2020 4 28 26 1 1 3事件的关系及运算 设A B
14、是随机试验E的事件 是E的样本空间 1 事件的包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生 则称事件A包含于事件B或事件B包含事件A 记作 例如 在例1 2中 若令A 抽到能被4整除的号码 B 抽到偶数号码 事实上 A 4 8 B 2 4 6 8 10 2020 4 28 27 事件的相等 若 则称事件A与事件B相等 记作A B B 2020 4 28 28 2 事件的和 并 我们称 事件A与事件B至少一个发生 的事件为事件A与事件B的和事件 记作A B 或A B 例1 5连续射击两次 观察各次中靶情况 设事件A 第一次命中 B 第二次命中 则和事件A B 至少命中一次 A 2020 4 28 2
15、9 两个事件和的概念可以推广到任意有限多个事件 甚至无穷可列个事件上 2020 4 28 30 3 事件的积 我们称 事件A和事件B同时发生 的事件为事件A和事件B的积事件 记作AB或A B 如例1 5中 事件AB 两次都命中 A B AB 2020 4 28 31 推广 n个事件的积事件 可列个事件的积事件 2020 4 28 32 4 事件的差 我们称 事件A发生而事件B不发生 的事件为事件A与事件B的差事件 记作A B 如在例1 5中 事件A B 第一次命中而第二次未命中 A B 2020 4 28 33 5 事件的互斥性 互不相容性 若每次试验中 事件A与事件B不能同时发生 即A B
16、则称事件A与事件B互斥或互不相容 在例1 2中 若令A 抽到的号码能被3整除 B 抽到的号码能被5整除 则A与B互斥 2020 4 28 34 6 事件的对立 若事件A与事件B互斥 且在每次试验中事件A与事件B必有一个发生 即 则称事件A称为事件B的对立事件 记为 实例抛掷一枚硬币 出现花面 与 出现字面 是两个对立的事件 2020 4 28 35 互斥事件与对立事件的区别 B A B对立 A B互斥 互斥 对立 2020 4 28 36 8 互斥事件完备群 设为试验E的一组事件 如果它们之中任意两个之间互斥 且每次试验中必有其中一个发生 则称这组事件形成互斥事件完备群 即 由定义可看出 互斥事件完备群构成样本空间的一个分割 特别地 随机事件的任一事件A与其对立事件构成一个最简单的互斥事件完备群 2020 4 28 37 1 1 4事件的运算律 注这些运算律都可以推广到有限个事件的情况 对偶律还可以推广到无穷可列多个事件的情况 2020 4 28 38 例1 6设A B C表示三个随机事件 试将下列事件用A B C表示出来 A出现 B C不出现 A B出现 C不出现 三个事件都出现 三
