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1、 1 附录I截面的几何性质 I 1截面的静矩和形心的位置 I 2极惯性矩惯性矩惯性积 I 3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积 I 4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 2 1 静矩 2 形心 3 形心与静矩的关系 图形对某轴的静矩为零 则该轴一定过图形的形心 某轴过图形的形心 则图形对该轴的静矩为零 I 1截面的静矩和形心的位置 3 例I 1求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC 解 过圆心O作与x轴垂直的y轴 在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条 所以 4 组合图形的形心与静矩 1 组合图形的静矩 2 组合图形的形心 4 解 将此图形分
2、别为I II III三部分 以图形的铅垂对称轴为y轴 过II III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴 则 例I 2求图示图形的形心 由于对称知 xC 0 5 1 极惯性矩 2 惯性矩 为图形对一点的极惯性矩 3 惯性积 为图形对x y一对正交轴的惯性积 分别为图形对x y轴的惯性矩 4 惯性矩与极惯性矩的关系 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数 等于图形对该点的极惯性矩 I 2极惯性矩惯性矩惯性积 6 解 平行x轴取一窄长条 其面积为dA bdy 则 惯性矩 极惯性矩恒为正值 惯性积有正负 单位 m4 cm4 mm4 若图形有一个对称轴 则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积
3、为零 惯性矩 惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 如将dA看成质量dm 则Ix Iy Ip分别为平面体对x轴 y轴 原点的转动惯量 例I 3求图示矩形对通过其形心且与边平行的x y轴的惯性矩Ix Iy和惯性积Ixy 又因为x y轴皆为对称轴 故Ixy 0 同理可得 7 由于圆形对任意直径轴都是对称的 故Ix Iy注意到Ip Ix Iy 得到 例I 4求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix Iy及对圆心的极惯性矩Ip 解 首先求对圆心的极惯性矩 在离圆心O为r处作宽度为dr的薄圆环 其面积dA 2prdr 则 8 一 平行移轴公式 1 公式推导 2 平行移轴公式 b和a是图形的形心C在
4、Oxy坐标系中的坐标 所以它们是有正负的 3 注意 xC yC轴是形心轴 在所有的平行轴中 图形对形心轴的惯性矩最小 I 3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积 二 组合图形的惯性矩 9 已知 形心在xOy坐标系下的坐标 a b 求Ix Iy Ixy 10 例I 5求图示T型截面对形心轴的惯性矩 例I 6已知三角形对底边 x1轴 的惯性矩为bh3 12 求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩 解 由于x1 x2轴均非形心轴 所以不能直接使用平行移轴公式 需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩 再求对x2轴的惯性矩 即进行两次平行移轴 11 12 一 惯性矩和惯性积的转轴公式 1
5、公式推导 2 转轴公式 3 注意 a是x轴与x1轴的夹角 由x轴逆时针转到x1轴时的a为正 I 4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩 13 已知 Ix Iy Ixy a 求 利用三角变换 得到 得到 14 形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩 2 主轴方位 利用主轴的定义 惯性积等于零进行求解 主轴与x轴的夹角 由上式可求出相差90o的a0 a0 90o 分别对应于一对相垂直的主轴x0 y0 二 主惯性轴 主惯性矩 1 主轴的相关概念 主轴 主惯性轴 惯性积等于零的一对正交轴 形心主轴 过图形形心的主轴 图形的对称轴就是形心主轴 15 与主轴方位的对应关系 求a0时只取主值 2a
6、0 p 2 若Ix Iy 则由x轴转过a0到达x0轴时 有 若Ix Iy 则 注意 a0为正值时应逆时针旋转 任何具有三个或三个以上对称轴的平面图形 所有形心轴都是主轴 如正三角形 正方形 正多边形 求惯性矩的极值所在方位 得到与上式相同结果 所以 图形对过某点所有轴的惯性矩中的极大值和极小值 就是对过该点主轴的两个主惯性矩 3 主惯性矩大小 16 例I 7计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩 图形的对称中心C为形心 在C点建立坐标系xCy如图 将整个图形分成I II III三个矩形 如图 整个图形对x y轴的惯性矩和惯性积分别为 17 例I 8求图示正方形对过形心的x1 y1轴的惯性矩和惯性积 则 感谢亲观看此幻灯片 此课件部分内容来源于网络 如有侵权请及时联系我们删除 谢谢配合
