《2019届湖南省益阳市高三4月模拟考试数学（理）试题（解析word版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届湖南省益阳市高三4月模拟考试数学（理）试题（解析word版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019届湖南省益阳市高三毕业班4月模拟考试数学（理）试题一、单选题1若，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先解不等式得集合A，再根据交集定义得结果.【详解】由题意得，.故选C.【点睛】本题考查解对数不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.2若为虚数单位，复数满足：，则（ ）A2B1CD【答案】D【解析】先将复数化为代数形式，再根据复数模的定义求结果.【详解】，.故选D.【点睛】本题考查复数的模，考查基本求解能力，属基础题.3若正六边形的边长为2，则（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】根据正六边形性质得向量夹角，再根据向量数量积定义求解.【详解】连接，则，易得，故 .故选B.【点睛
2、】本题考查向量数量积，考查基本转化求解能力，属基础题.4已知函，满足：，则的最小值是（ ）AB3CD【答案】C【解析】根据条件得周期，即得结果.【详解】由题意知取最小值时满足 ，取最小值为.故选C.【点睛】本题考查三角函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.5如图，在区域：内取一点，则该点恰好取自阴影部分（阴影部为“”与“”的公共部分）的概率是（ ）ABCD【答案】A【解析】先求阴影部分面积，再根据几何概型概率公式求解.【详解】阴影部分面积为圆的半圆和圆的弓形面积之和，即，故所求概率为.故选A.【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.6已知双曲线的渐近线与圆相切，且过双
3、曲线的右焦点与轴垂直的直线与双曲线交于点，的面积为，则双曲线的实轴的长为（ ）A18BCD【答案】C【解析】根据渐近线与圆相切得，根据的面积得等式，联立方程解得结果.【详解】设双曲线的渐近线为，可知，所以，渐近线为，将代入双曲线方程得，所以，与联立得，所以双曲线实轴长为.故选C.【点睛】本题考查双曲线渐近线以及基本量，考查基本分析求解能力，属基础题.7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）AB1CD【答案】A【解析】先还原几何体，并放入正方体中，根据等体积法求结果.【详解】把该几何体嵌入棱长为2的正方体中，求得.故选A.【点睛】本题考查三视图以
4、及锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.8函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用导数求函数单调性，再根据上单调性判断选择.【详解】，令，则.当时，单调递减，故.故，即函数在上为增函数.故选A.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.9已知：，则3，的大小关系是（ ）ABCD【答案】D【解析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.【详解】，；又 ，.故选D.【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.10我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日
5、，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计如图所示的程序框图，输入，.那么在处应填_和输出的值为（ ）A 4B 4C 3D 3【答案】A【解析】根据循环结构含义以及循环次数进行补填和输出结果.【详解】根据题意表示莞高，表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故填.根据程序框图得：第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，此时满足，故输出.故选A.【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属中档题.11四棱锥，顶点在底面的射影是正方
6、形的中心，平行于底面的截面截四棱锥，所得截面为，几何体中，则几何体外接球的半径为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据底面中心与球心关系列方程解得结果.【详解】设的中心为，的中心为，则球心在直线上，则，又，所以.设球心到的距离为，则，因为1，解得或（舍），所以，所以.故选C.【点睛】本题考查四棱台外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.12直线交于，两点，若四边形（为原点）是矩形，则直线的斜率的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设直线方程并与抛物线方程联立，根据，借助韦达定理化简得；根据，相互平分，借助斜率公式化简得，最后根据基本不等式求最值.【详解】设，将直线：代入，整理得.由，得 ，即
7、.由，相互平分，得，故， ，故，时，非最大值.时，.当且仅当时取等号.故选B.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩.统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为_【答案】3250【解析】根据正态分布对称性求比例，再根据总数求结果.【详解】因为成绩，所以正态分布曲线关于对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，所以此次考试成绩不低于12
8、0分的学生约有.【点睛】本题考查正态分布对称性，考查基本分析求解能力，属基本题.14包括甲、乙、丙在内的5个人排一列，则甲乙不相邻，且丙不排在两端的排法种数为_【答案】48【解析】根据不相邻问题求法求排列数.【详解】甲乙不相邻的排法种数：，其中丙排在两端的排法种数为：，所求种数为.【点睛】本题考查不相邻问题排列，考查基本分析求解能力，属基本题.15已知点满足不等式组，若的最大值为5，则_【答案】5【解析】先画可行域，再结合图象确定最优解，即得结果.【详解】当时，表示的区域不存在；当时，表示的区域如图所示，目标函数化为，取最大值时，截距最小.对比斜率，可得取最大值时的最优解为，代入，得.【点睛】
9、本题考查线性规划最值问题，考查基本分析求解能力，属中档题.16在中，角，所对的边分别为，若，则的最大值等于_【答案】【解析】先根据正弦定理化为边的关系，再根据余弦定理得A，最后根据正弦定理以及三角形内角关系化基本三角函数，根据正弦函数性质得最大值.【详解】原等式可化为，整理，得，故.因为 ，其中为锐角，.，故当时，取得最大值为.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题17已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）解方程得，再根据等差数列定义以及通项公式得结果，（2
10、）先化简求再根据错位相减法求和.【详解】解：（1）由及，得，解得，（舍），所以是等比数列，且公比，又，所以.（2）因为，所以，所以，-得，.所以.【点睛】本题考查错位相减法求和、等差数列定义以及通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题.18四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明（2）【解析】（1）先根据面面垂直性质定理得线面垂直，再根据线面垂直判定与性质定理证结果，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角与二面角.【详解】解：（1）因为平面平面，且.所以平面，所以.又因为，所以平面，所以.又因为，所
11、以平面.（2）以为原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图空间直角坐标系.作于，连接，因为平面平面，所以平面，即为直线与平面所成的角，故，所以.中，令，则，解得，故，.设平面的一个法向量为，则，所以，可取.又因为平面的一个法向量为，故.综合图形可知，所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直性质定理线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.19某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定：、三级为合格等级，为不合格等级.百分制85分及以上70分到84
12、分60分到69分60分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中制取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，的分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图乙所示.（1）求和频率分布直方图中的，的值；（2）根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记表示所抽取的3名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（I）；（II）；（III）分布列见解析，.【解析】试题分析：(I)借助题设
13、条件运用频率分布直方图求解；(II)依据题设对立事件的概率公式求解；（III）依据题设运用随机变量的数学期望公式探求.试题解析：（）由题意可知，样本容量（）成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为，则；（）由题意知等级的学生人数为人，等级的人数为人，故的取值为0，1，2，3，所以的分布列为：【考点】频率分布直方图及对立事件的概率公式、数学期望计算公式等有关知识的综合运用20已知为坐标原点，椭圆：的离心率为，直线：交椭圆于，两点，且点在椭圆上，当时，.（1）求椭圆方
14、程；（2）试探究四边形的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据点差法得，解得M坐标，代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式、面积公式得四边形的面积.【详解】解：（1）由，故椭圆方程可化为，设，则，两式相减整理得，当时，解得，将与联立，解得中点坐标为，故代入椭圆方程，整理得，解得，故椭圆的方程为.（2）设中点为，把代入椭圆，整理得，所以，.设，则，代入椭圆，得，.当时，设交轴于点，则.当时，的面积为，故面积为定值.因为，所以四边形面积为定值3.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及点差法，
