《人教A版 2020高考冲刺数学二轮--（拔高）：圆锥曲线第三章 圆锥曲线中的最值、定点、定值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版 2020高考冲刺数学二轮--（拔高）：圆锥曲线第三章 圆锥曲线中的最值、定点、定值（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章圆锥曲线中的最值、定点、定值第一节:最值问题 (均值、函数)求以下式子的最值（1）（2） （3）（4）（5）设，则 上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值.（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；上述式子求最值可以通过分离常数法实现.【例1】.平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是32,抛物线的焦点F是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程;(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.(i)求证:点M在定直线上;(ii)直线l与y轴交于点G,记
2、PFG的面积为,PDM的面积为,求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标.【解答】解:(I)由题意可得e=ca=32,抛物线E:x2=2y的焦点F为(0,12),即有b=12,a2c2=14,解得a=1,c=32,可得椭圆的方程为x2+4y2=1;(2)(i)证明:设P(x0,y0),可得x02=2y0,由y=12x2的导数为y=x,即有切线的斜率为x0,则切线的方程为yy0=x0(xx0),可化为y=x0xy0,代入椭圆方程,可得(1+4x02)x28x0y0x+4y021=0,=64x02y024(1+4x02)(4y021)0,可得1+4x024y02.设A(x1,y1),B(x2,y
3、2),可得x1+x2=8x0y01+4x02,即有中点D(4x0y01+4x02,y01+4x02),直线OD的方程为y=14x0x,可令x=x0,可得y=14.即有点M在定直线y=14上;(ii)直线l的方程为y=x0xy0,令x=0,可得G(0,y0),则S1=12|FG|x0|=12x0(12+y0)=14x0(1+x02);S2=12|PM|x04x0y01+4x02|=12(y0+14)x0+4x03-4x0y01+4x02=18x0(1+2x02)21+4x02,则S1S2=2(1+x02)(1+4x02)(1+2x02)2,令1+2x02=t(t1),则S1S2=2(1+t-12
4、)(1+2t-2)t2=(t+1)(2t-1)t2=2t2+t-1t2=2+1t1t2=(1t12)2+94,则当t=2,即x0=22时,S1S2取得最大值94,此时点P的坐标为(22,14).【例2】.如图,O为坐标原点,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为,离心率为;双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点分别为,离心率为,已知32,且31.(1)求的方程;(2)过作的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.【解答】解:(1)由题意可知,e1=1-b2a2,e2=1+b2a2,且|F1F2|=2a2-b2.e1e2
5、=32,且|F2F4|=31.1-b2a21+b2a2=32,且a2+b2-a2-b2=3-1.解得:a=2,b=1.椭圆C1的方程为x22+y2=1,双曲线C2的方程为x22-y2=1;(2)由(1)可得F1(1,0).直线AB不垂直于y轴,设AB的方程为x=ny1,联立&x=ny-1&x22+y2=1,得(n2+2)y22ny1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则y1+y2=2nn2+2,y0=nn2+2,y1y2=-1n2+2.则|AB|=1+n2(y1+y2)2-4y1y2=1+n2(2nn2+2)2+4n2+2=22(n2+1)n2+2.M在直线AB上,x
6、0=n2n2+2-1=-2n2+2.直线PQ的方程为y=y0x0x=-n2x,联立&y=-n2x&x22-y2=1,得x2-2(-n2x)2-2=0.解得x2=42-n2,代入y=-n2x 得y2=n22-n2.由2n20,得2n2.P,Q的坐标分别为(-42-n2,n22-n2),(42-n2,-n22-n2),则P,Q到AB的距离分别为:d1=|nn22-n2+42-n2-1|n2+1,d2=|-nn22-n2-42-n2-1|n2+1.P,Q在直线A,B的两端,d1+d2=|2nn22-n2+242-n2|n2+1.则四边形APBQ的面积S=12|AB|(d1+d2)=2232-n2-1
7、.当n2=0,即n=0时,四边形APBQ面积取得最小值2.第二节:定点、定值 【例1】.如图,已知抛物线,过点任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明: 为定值,并求此定值.【解答】(1)证明:依题意,可设AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x24kx8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:x1x2=8,直线AO的方程为y=y1x1x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为&x=x2&y=y1x2x1.注意到x1x2=8及x12=4y1,则有y=y1x1x2x12=-8y14y1=2,因此D点在定直线y=2(x0)上.(2)证明:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x24ax4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=a2.故切线l的方程可写成y=axa2.分别令y=2、y=2得N1、N2的坐标为N1(2a+a,2)、N2(2a+a,2),则|MN2|2|MN1|2=(2a-a)2+42(2a+a)2=8,即|MN2|2|MN1|2为定值8.8实 用 文 档
