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1、高一数学同步辅导教材（第14讲） 一、本讲进度 2.9 函数的应用举例 2.10 实习作业 小结与复习（课本第90页至第107页）二、本讲主要内容 1、函数的应用； 2、第二章的复习与测试三、学习指导 函数反映了两个变量之间的某种依赖关系，在实际生活和生产中有着广泛的应用。我们研究的各种应用问题，通常是指有实际背景或具有实际意义的一些问题。由于实际问题具有背景复杂，因素众多，思维深广度大，解答途径多样等特性，在用数学知识解决时，需要有一个“数学化”的过程，即从非数学语言中去捕捉解题信息，将实际问题转化为数学问题，然后再用数学知识和方法去解决。本讲主要是用数学中的函数知识来解一些应用问题。现实世
2、界中普遍存在的所谓“最优化”问题，诸如成本最低、利润最高、产出最大、效益最好等应用问题，常常可以归结为函数的最值问题。通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用相关的数学知识去解决。课本提供的三个例题，分别是关于平面几何，增长率（复利）和物理方面的。通过这些问题的解决，可以使我们增强应用意识，提高分析问题和解决问题的能力。 四、典型例题分析 例1、某商店购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，一个月能卖出a个，为获得更大利润，商品准备提高价格，若每件涨价1元，销售量就减少10个，问为了获取最大利润，售价应当定为多少？试就a=500和a=50两种情形分别解答。 解题思路分析此类问题
3、的基本关系是：每件利润=原售价+提价-进价，实售件所=原售件数-滞销量。 设提价x元/件，则能售出(a-10x)件，月利润总量y=(10+x)(a-10x)元。 当a=500时，使y最大的x取值为20，当a=50时，使y最大的x取值为-2.5。 例、某种商品，生产x吨需费用1000+5x+x2，而卖出x吨的价格是每吨p元，其中p=a+,(a,b是常数)。如果生产的产品全部卖掉，当生产量是150吨时利润最大，这时每吨价格为40元，求a,b的值。 解题思路分析：基本关系式：总利润=总收入-生产费用。设利润为y元，则可得y=px-(1000+5x+x2)以p=a+ 代入，化简得函数y=(-)x2+(
4、a-5)x-1000其中有两个字母a,b的值要确定,需要有两个条件.由题设知:当x=150时p=40;又知当x=150时利润y取最大值.由此解得a=45,b=-30.例3、某工厂今年1月、2月、3月分别生产某产品1万件、1.2万件、1.3万件。为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系。模拟函数可选用函数y=abx+c(其中a,b,c为常数)或二次函数。已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。解题思路分析：先确定两种函数的解析式，再比较x=4时哪个函数值更接近1.37。设y1=f(x)=ab
5、x+c，则由f(1)=1,f(2)=1.2，f(3)=1.3,解得a,b,c,f(x)=-0.80.5x+1.4.设y2=g(x)=px2+qx+r,(p0)。则由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3解得p,q,r,g(x)=-0.05x2+0.35x+0.7计算f(4)=1.35,g(4)=1.3,故用y作为模拟函数较好。巩固练习（一）选择题 1、某商品零售价1999年比1998年上涨25%，欲控制2000年比1998年只上涨10%，则2000年应比1999年降价（ ） A15% B12% C10% D50%2、在国内投寄处埠平信，每封不超过20克重需付邮资8角，超过20克重而不
6、 超过40克重付邮资16角，超过40克重而不超过60克重付邮资24角，设信的重量为x（0x60）克时，应付的邮资为f(x)角，则函数y=f(x)的图象是（ ）3、某种菌种在培养过程中每20min分裂一次（1个分裂为2个），经过3h，1个细菌可繁殖为（ ）A511个 B512个 C1023个 D1024个4、有一批材料可以建成200m围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形如图，则围成的矩形的最大面积是（ ）A.100m2 B.10000m2 C.2500m2 D.6250m2 5、某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面
7、积与原绿化面积之比为y，则y=f(x)的图象大致为（ ） 6、甲、乙两人同时从A出发到B，甲先骑车到甲点后改步行；乙先步行，到中点后改骑车，结果两人同时到达B（已知骑车快于步行，甲骑车快于乙骑车），现把离开A的距离y表达成时间x的函数并绘成图象（如，下）对图象判断正确的是（ ）A甲是，乙是 B甲是，乙是C甲是，乙是 D甲是，乙是（二）填空题 7、建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/米2和80元/米2，则总造价y关于底面一边长x的函数解析式为_。 8某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年的平均增长率为_。 91992年底世界人口达
8、到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口为y亿，那么y与x的函数关系是_。 10用12m长的钢筋制作两个正三角形的钢框，所能得到三角形面积和最小值为_m2。 11在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1,a2,，an，共n个数据。我们规定所测量的物理量的最佳近似值a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,an中推出的a=_.（三）解答题12车间生产某种产品，固定成本2万元，每生产一件产品成本增加100元。已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和）（单位：元）是年产量Q（单位：件
9、）的函数，满足关系式 400Q-Q2(0Q400) R=f(Q)= 80000 (Q400)求每年生产多少件产品时，总利润最大，此时总利润是多少元？13银行一年定期存款的年利率为p，三年定期存款的年利率为q，如果存一年定期，一年后取出本息再一起存入一年定期，这样三年后所取出的本息与直接存三年定期相比较，还是直接存三年合算，试问p与q的大小关系如何？14.某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨,若蓄水池向居民小区不间断地供水,且t小时内供水总量为120吨(0t24)。（1） 供水开始几小时后，蓄水池中的水量最少？最少水量为多少吨？（2） 若蓄水池中的水量少
10、于80吨，就会出现供不紧张现象，试问在一天的24小时内，有多少小时会出现供水紧张现象，并说明理由。15某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8x14时，淡水鱼的市场日供量p千克与市场需求量Q千克近似地满足关系： P=1000(x+t-8) (x8, t0) Q=500 (8x14) 当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。（1） 将市场平衡价格表示的政府补贴的函数，并求出函数的定义域；（2） 为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？16某地现有耕地10000
11、公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产= 人均粮食占有量= ）【参考答案】（一）选择题1、B 1+10%=（1+25%）（1-x%），解得x=122、C 由 8 (0x20) y=f(x)= 16 (20x40) 知选C 24 (40400,QN) -(Q-300)2+25000 (0Q400, QN) = 60000-100Q, (Q400,QN)当Q400时，y是减函数，y20000;当Q400时，y是Q的二次函数，当Q=300时y有最大值25000。所以每年生产300件产品时，利润最大，最大利润为25000元。13、解 设存款数为a元，按第一种方式存款三年后本息为a(1+P)3,而第二种方式存款三年后本息为a(1+3q)依题意有：a(1
