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1、第一课常用逻辑用语 体系构建题型探究四种命题及其相互关系命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若p，则q”逆否命题为“若q，则p”书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待(2)要注意条件和结论的否定形式写出命题：“若a2b20，则a0且b0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假思路探究【规范解答】原命题：若a2b20，则a0且b0，是真命题；逆命题：若a0且b0，则a2b20是真命题；否命题：若a2b20，则a0或b0是真命题；逆否命题：若a0或b0，则a2b20是真命题跟踪训练1命题“对于正数a，若a1，则lg a0”以及它的逆命题、
2、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_. 【导学号：95902050】【解析】原命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题；否命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题【答案】4充分条件、必要条件与充要条件判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件(2)
3、集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，那么：若AB，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；若AB且BA，即AB时，则p是q的充要条件(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于q是p的什么条件(1)设p：x3，q：1x3，则p是q成立的_条件(2)设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的_条件思路探究(1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断【规范解答】(1)方法一：p：x3，q：1x3，qp，但 pq，p是q成立的必要不充分
4、条件方法二：设Ax|x3，Bx|1x3，因为BA，但AB，所以p是q成立的必要不充分条件(2)本题采用特殊值法：当a3，b1时，ab0，但ab0，故是不充分条件；当时a3，b1时，ab0，但ab0，故是不必要条件所以“ab0”是“ab0”的即不充分也不必要条件【答案】(1)必要不充分(2)既不充分也不必要跟踪训练2设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的_条件. 【导学号：95902051】【解析】当x2且y1时，满足方程xy10, 即点P(2，1)在直线l上点P(0,1)在直线l上，但不满足x2且y1，“x2且y1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件【答
5、案】充分不必要条件全称命题与存在性命题1.求一个命题否定的方法：(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量词(3)否定结论(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式2全称命题与存在性命题真假判断的方法(1)判定全称命题的真假的方法定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假(2)判定存在性命题真假的方法代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假写出
6、下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x210；(4)p：x，yR，x2y22x4y50.思路探究首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假【规范解答】(1)p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除p为真命题(2)p：所有的素数都不是偶数因为2是素数也是偶数，故p为假命题(3)p：对任意的实数x，都有x210.p为真命题(4)p：x0，y0R，xy2x04y050.p为真命题跟踪训练3在下列四个命题：xR，x2x30；xQ，x2x1是有理数；，R，使sin()sin si
7、n ；x0，y0Z，使3x02y010.其中真命题的个数是_. 【导学号：95902052】【解析】中x2x30，故为真命题；中xQ，x2x1一定是有理数，故也为真命题；中当，时，sin()0，sin sin 0，故为真命题；中当x04，y01时，3x02y010成立，故为真命题【答案】4求解含逻辑联结词命题中参数的取值范围解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p，q分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p，q的真假情况确定参数的取值范围当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用p与p，q与q不能同真同假的特点，先求p，q中参数的取值范围已知c0.设
8、p：函数ycx在R上单调递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R.如果p或q为真，p且q为假，求c的取值范围思路探究 【规范解答】对于命题p：函数ycx在R上单调递减0c1；对于命题q：不等式x|x2c|1的解集为R.即函数yx|x2c|在R上恒大于1.因为x|x2c|所以函数yx|x2c|在R上的最小值为2c，所以2c1，即c.由p或q为真，p且q为假知p，q中一真一假若p真q假，则解得0c.若p假q真，则解得c1.综上，c的取值范围是1， )跟踪训练4已知命题p：xR，mx210，命题q：xR，x2mx10，若pq为真命题，则实数m的取值范围是_. 【导学号：95902053】 【解析】p
9、q为真命题，命题p和命题q均为真命题，若p真，则m0， 若q真，则m240，2m2. pq为真，由知2m0.【答案】(2,0)转化与化归思想所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体
10、化设命题p：(4x3)21，命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围思路探究 【规范解答】设Ax|(4x3)21，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，易知A，Bx|axa1由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，或故所求实数a的取值范围是.跟踪训练5设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60或x22x80，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围【解】方法一：设Ax|x24ax3a20x|3axa，Bx|x2x60或x22x80x| x2x60x| x22x80x|2x3x|x4或x2x|x4或x2p是
11、q的必要不充分条件q p，且p q，即x|q x|p又x|qRBx|4x2，x|pRAx|x3a或xa，或 即a0或a4.故所求实数a的取值范围是(，4.方法二：由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，所以或即a0或a4.故所求实数a的取值范围是(，4.链接高考1设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_. 【导学号：95902054】【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”【答案】若方程x2xm0没有实根，则m02命题“x0(0，
12、)，ln x0x01”的否定是_【解析】由存在性命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为x(0，)，ln xx1.【答案】x(0，)，ln xx13已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”【解析】因为an为等差数列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d0S4S62S5.【答案】充要4若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_. 【导学号：95902055】【解析】由题意，原命题等价于tan xm在区间上恒成立，即ytan x在上的最大值小于或等于m，又ytan x在上的最大值为1，所以m1，即m的最小值为1.【答案】15已知命题p：x0，ln(x1)0；命题q：若ab，则a2b2，下列命题为真命题的是_(填编号)pq；pq；pq；pq.【解析】当x0时，x11，ln(x1)0，即p为真命题；取a1，b2这时满足ab，显然a2b2不成立，即q为假命题，由复合命题真值表易知为真命题【答案】7
