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1、【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 复数的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合，集合，则等于 A. B. C. D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论：命题“.”的否定是“.”；“若，则.”的否命题是“若则.”；若
2、是真命题，是假命题，则命题中一真一假；若，则是的充分不必要条件.其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知，则A. B. C. D. 6. 已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则 的取值范围是A. B. C. D. 正视图侧视图俯视图7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为A. B. C. D. 8. 已知与为单位向量，且，向量满足2，则的取值范围为A. B. C. D. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的
3、距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是A. B. C. D. 10. 设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是 A. B. C. D. 11. 如图，在中，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥. 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A. B. C. D. 12. 设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. 幂函数的图象关于轴对称，则实数_.14. 已知向量若，则向量的概率为_.15. 在中，分别是内角A，B，C的对边且B为锐角，若，则
4、的值为_. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知数列满足，等差数列满足.（1）记，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.（12分） 已知四棱锥的底面为菱形，且为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.19. （12分）设关于某产品的明星代言费（百万元）和其销售额（百万元），有如下表的统计表格：表中（1）在
5、给出的坐标系中，作出销售额关于广告费的回归方程的散点图，根据散点图指出：哪一个适合作销售额关于明星代言费的回归方程（不需要说明理由）；并求关于的回归方程（结果精确到0.1）（2）已知这种产品的纯收益（百万元）与，有如下关系：，用（1）中的结果估计当取何值时，纯收益取最大值？附：对于一组数据其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，20. （12分）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.21（12分）已知函数.（1）时，求在上的单调区间；（2）且恒成立，求实数的取值范围.
6、（二）选考题：共10分。 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。22.（10分）选修44：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设与交于两点（异于点），求的最大值.23.（10分）选修45：不等式选讲已知函数（1）若，求的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.数学文答案（四）A卷 15 BDDCC 610 CABBA 1112 ABB卷 15 ACCBB 610 DBDDC 1112 BC1. 解析 由复数的性
7、质可求得2. 本题考查集合的运算，指数函数，对数函数的基本性质.解析 ，故3. 本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识解析 4. 本题考查了命题真假判断、充要条件等基础知识解析 对，错5. 解析 由得：，则6. 解析 本题考查线性规划.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数，变形为只在处取得最大值，则或，可得或，由时在点处取得最大值，所以ABCDE7. 本题考查三视图还原直观图的方法，几何体体积的计算，考查空间想象能力及运算求解能力.解析 如图，在棱长为2的正方体中，点为正方体的顶点，点为所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥，分析知四棱锥的侧面底面，点到直线的距离即为
8、棱锥的高，易求得为，故四棱锥的体积为8. 解析 本题考查向量的几何运算及向量的模。因为与为单位向量，且，故可设又 2，即，其表示圆心为（1，1），半径的圆，.9. 解析 本题考查三角函数的图象变换与性质. 易知由经向左向下平移后，得到由已知得函数的最小正周期为，则，当时，解得.10. 解析 11. 解析 本题考查三棱锥外接球表面积计算，由题意可得是边长的正三角形，且平面. 设三棱锥外接球的球心为外接圆的圆心为则平面，所以四边形为直角梯形，由及，可得故，即外接球的半径为，则其表面积为.12. 解析 本题考查导数的应用. 设，则，即函数在R 上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对
9、称图形，且对称中心（2，1），由于，即函数过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数上，所以有，所以，而不等式即，即所以，故使得不等式成立的的取值范围是. 13. 2 14. 15. 解析16. 解析 本题考查椭圆离心率的求法：因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知，由得，所以所以，代入椭圆方程得，即又，所以，所以椭圆离心率为.17. 解：（1）由题意知2分于是，故数列的公差为3，故， 4分所以 6分（2）由（1）知，数列为等差数列. 12分18. 证明：19. 解：（1）散点图如图所示根据散点图可知适合作销售额关于明星代言费的回归方程。 4分令，则是关于的线性回方方
10、程 7分 8分（2） 9分 对恒成立时 取得最大值 11分即当明星代言费百万元时，纯收益最大值 12分20. 解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线。 2分，抛物线方程为： 4分（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为由题意可设直线的方程为，由得.6分因为直线与曲线于两点，所以，所以点的坐标为.由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.7分当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点；（10分）当时，直线的方程为，也过点11分综上所述，直线恒过定点 12分21. 解：12分11分8分7分5分22. 解： （1）曲线的普通方程为化简得，则，所以曲线的极坐标方程为4分（2）由直线的参数方程可知，直线必过点，也就是圆的圆心，则不妨设，其中则所以当时，取得最大值为. 10分23. 解：（1）若，则，得，即时恒成立；若，则，得，即；若，则，得，即不等式无解.综上所述，的取值范围是. 5分（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需当时，当时，则，解得，结合，所以的取值范围是 10分 - 13 -
