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1、1 ShanghaiUniversity 断裂力学FractureMechanics 断裂力学第四讲 郭战胜davidzsguo 办公地点 延长校区力学所317室平时答疑 每周一 5 6节晚修答疑 每周一 18 00 20 30地点 HE108或HE104b 2 应力强度因子计算 2 单位圆上的映射 若 可导出 解析 解析 4 内内映射 2 外内映射 例 5 3 外外映射 4 内外映射 6 在内不为零 上 本身可以是奇异的 它对应平面上的角点 待定 1950 Darwin 5 7 6 7 8 二 柯西积分公式与广泛柯西积分公式 F t F z 闭曲线 方向逆时针 内有限域 无限域 内域柯西公式
2、 在 内解析 在 上连续 9 2 外域柯西公式 在内解析 包括 3 含极点的广泛内域柯西公式 在内处为 有n阶极点 除此以外 在内解析 则 时 则 10 4 外域广泛柯西积分公式 在内解析 处 则在处展成级数有 则 11 12 Muskhelisvili 穆什海里什维利 数学弹性力学的几个基本问题 Nikoloz Niko Muskhelishvili Georgian格鲁吉亚 February161891 July16 1976 wasanotableGeorgianandSovietmathematician oneofthefoundersandfirstPresident 1941 1
3、972 oftheGeorgianSSRAcademyofSciences nowGeorgianAcademyofSciences then DoctorofPhysicalandMathematicalSciences 1934 Professor 1922 HeisoftenreferredbytheRussianversionofhisname NikolaiIvanovichMuskhelisvili 是搞数学弹性理论的人必读的书 中文版是依据1953年出版的俄文第四版翻译的 1977年 Springer出版社根据当时最新的俄文修订版 推出了英文本 Muskhelishvili So
4、meProblemsoftheMathematicalTheoryofElasticity 中文本自五十年代出版后 再没有修订过 13 In1914hegraduatedfromtheSt PetersburgUniversity Russia In1917 1920MuskhelishviliwasAssistantProfessorofthisUniversity in1920 1922 AssociateProfessoroftheTbilisiStateUniversity TSU in1922 1976 aProfessorofTSU in1941 1972 firstPreside
5、ntoftheGeorgianSSRAcademyofSciences in1972 1976 HonoraryPresidentofGAS In1939MuskhelishviliwaselectedasAcademician FullMember oftheAcademyofSciencesoftheUSSR nowtheRussianAcademyofScience Muskhelishviliwasauthorofoutstandingscientificworksinthefieldsofsingularintegralequations mathematicalphysics th
6、eoryofelasticity etc Muskhelisvili 14 由应力强度因子表达的脆性断裂准则为 进行断裂安全分析时 1 需要计算构件的值 由构件的尺寸 形状和所受的载荷形式决定 2 测定材料的 用实验测定材料的时 必须首先确定试件的标定式 因此 计算各种构件的应力强度因子 是线弹性断裂力学的一项重要任务 15 计算值的几种方法 1 解析法 复变函数法 积分变换 2 数值解法 边界配置法 有限元法 3 实验标定法 柔度标定法 4 实验应力分析法 光弹性法 解析法只能计算简单问题 大多数问题需要采用数值解法 工程中 广泛采用有限元法 而且随着计算机技术的发展 能够计算越来越复杂的问
7、题 其它求应力强度因子的方法 及工程估算和实验方法可查阅有关文献 对于一般的二维裂纹问题 可以用Kolosov Muakhelishvili的方法程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子 但这种方法求解过程需要数学的技巧 对于某些特殊情况 可以采用Westergaard函数 即由需要求解两个复变解析函数和简化为确定一个复变函数 从而使问题简化 当然 Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解 解析法 16 记 则 Kolosov Muakhelishvili应力函数法 17 应力函数是实函数 积分之 待定函数两两共轭 Kolosov Muakhelishvili应力函数法 1
8、8 这就是著名的古萨应力函数 其中 为解析函数 所以求解双调和函数的问题 归结为求解解析函数 的问题 称之为复应力函数 Kolosov Muakhelishvili应力函数法 19 应力的复变函数表示 取应力组合 注意到 作第二个应力组合 Kolosov Muakhelishvili应力函数法 20 位移的复变函数表示 Kolosov Muakhelishvili应力函数法 其他详见教材58 60页 21 I II复合型裂纹 Kolosov Muakhelishvili应力函数法 要确定应力强度因子 就需要确定一个解析函数 对于复杂结构或载荷条件 通常使用复变函数的保角映射原理 将平面内的几何
9、图形 通过映射到平面中 简单的几何图形 从而使求解过程大为简化 则根据应力场计算公式 可以求得K的表达式 22 范例1 教材58 60 23 例 无限大板内长2a的穿透裂纹 集中力作用在右上表面 求应力强度因子 解 取映射函数 24 解析法求解I II复合型裂纹的应力强度因子 复变数 取复变解析函数 取应力函数 或 满足双调和方程 24 范例1 25 分析第一应力不变量 对于 型复合裂纹 型 型 25 26 型复合裂纹在裂纹前端处的不变量 取复数形式的应力强度因子 又 26 27 若采用 选择满足具体问题的应力边界条件 复变解析函数表达的双调和函数的普遍形式或复变应力函数为普遍形式 利用这个方
10、法可以求解很多 无限大 平板中的穿透裂纹问题 27 28 三种基本裂纹应力强度因子的计算 一 无限大板 型裂纹应力强度因子的计算 计算的基本公式 1 在 无限大 平板中具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上 距离处各作用一对集中力P 选取复变解析函数 29 边界条件 除去处裂纹自由表面上 如切出坐标系内的第一象限的薄平板 在轴所在截面上内力总和为P 以新坐标表示 30 2 在无限大平板中 具有长度为的穿透板厚的裂纹表面上 在距离的范围内受均布载荷q作用 利用叠加原理 集中力 令 31 当整个表面受均布载荷时 3 受二向均布拉力作用的无限大平板 在轴上有一系列长度为 间距为的裂纹 单个裂纹时 32 边
11、界条件是周期的 33 采用新坐标 当时 34 取 修正系数 大于1 表示其他裂纹存在对的影响 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多 可不考虑相互作用 按单个裂纹计算 35 二 无限大平板 型裂纹问题应力强度因子的计算 1 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式 无限大板 2 无限大平板中的周期性的裂纹 且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用 36 3 型裂纹应力强度因子的普遍表达形式 无限大板 4 型周期性裂纹 积分变换法 37 取应力函数满足双调和方程 富里埃变换的 n 阶导数 二维双调和方程的FourierTransforms 38 将双调和方程 7 2 作傅立叶变换其中方程 7 4 的一般解
12、 二维双调和方程的Fourier变换 39 应用反演公式 及应力变换 二维双调和方程的Fourier变换 40 得 由反演公式 得 二维双调和方程的FourierTransforms 41 现讨论平面应变情形下位移的解作反演得 若求得 可得 二维双调和方程的Fourier变换 42 半无限弹性平面的位移解 现讨论受分布压力的半无限弹性平面问题边界条件为 43 双调和方程的应力函数的傅立叶变换的一般解为 由边界条件 2 可知 所以由边界条件 1 确定A B 半无限弹性平面的位移解 44 半无限弹性平面的位移解 代入 7 6 式应力函数的傅立叶变换得到应力解 45 半无限弹性平面的位移解 对于平面
13、应变问题将应力函数代入 7 10 7 11 得到位移表达式 46 裂纹问题的对偶积分方程 现讨论裂纹边界受分布压力问题边界条件为 47 裂纹问题的对偶积分方程 如果压力分布对轴是对称的 则由边界条件得 由边界条件得 引入代换 式中是贝塞尔函数 48 裂纹问题的对偶积分方程 利用上述代换 边界条件 7 22 7 23 写为 上式为对偶积分方程 由这一对方程决定函数 于是便可求得 在求出后 便可以得到应力场和位移场的全部解 49 裂纹问题的对偶积分方程 对偶积分方程 7 24 的解为 作用在裂纹表面的压力由下列级数给出 则于是有 50 裂纹问题的对偶积分方程 若当 且时有 则可得位移 在均布压力作
14、用下 裂纹会扩大张开成椭圆形状 利用这种方法可解许多种裂纹尖端的应力位移场 51 三维裂纹问题的求解 52 受均匀拉伸的椭圆盘状裂纹 Green Sneddon解 边界条件 椭圆盘状裂纹 53 寻找调和函数 解实际上在流体力学中已经早就找到了 即在无穷远处处于静止的不可压缩的无限流体中 椭圆盘状的物体以匀速垂直于平面运动 问题与上述裂纹问题在数学上相似 而它的解是已知的 54 根据流体力学比拟得到本问题的解为 待定系数 边界条件 定出常数 应力场 其中 其中 55 应力强度因子 还原为第二类完全椭圆积分 圆盘状裂纹 56 57 权函数法计算应力强度因子 权函数方法 简述 利用前面的复变函数方法
15、 对于每一种载荷情况 需要分别利用相应的边界条件确定对应的Kolosov Muakhelishvili函数和或Westergaard函数 而这常常是困难的 而且 对于有限边界的裂纹问题以及含体积力的问题 上述方法大都难以实现 事实上 如果我们知道了一种载荷情况下的解 包括应力 应变场 位移和SIF 则可以采用权函数方法求解相同构形但载荷情况不同的应力强度因子和位移场 权函数方法最早是由Bueckner 1970 提出的 后来Rice等人发展了这种方法 即证明了权函数的唯一性 吴学仁和Carlsson 1991 用此方法得到了大量的结果 Wu X R Carlsson A J Weightfun
16、ctionsandstressintensityfactorsolutions PergamonPress Oxford1991 58 HANSF BUECKNER H F BUECKNER Anovelprincipleforthecomputationofstressintensityfactors Z angew Math Mech 50 529 546 1970 H F BUECKNER WeightFunctionsfortheNotchedBarZAMM JournalofAppliedMathematicsandMechanics Zeitschriftf rAngewandteMathematikundMechanikVolume51 Issue2 pages97 109 1971H F Bueckner Weightfunctionsandfundamentalfieldsforthepennyshapedandthehalf planecrackinthree space InternationalJournalofSolidsandStructures 23 1
