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1、专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一 与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以O点为圆心的圆记作O，读作圆O特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形确定圆的条件：1 圆心；2 半径，3 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦弧的概念：圆上任意两
2、点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作AB，读作弧AB在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距弦心距、半径、弦长的关系：（考点） 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形2）三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂
3、直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。弓形与扇形弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。【典型例题】1（2018陆丰市民声学校中考模拟）如图，A
4、B是O直径，点C，D在O上，ODAC，下列结论错误的是（ ）ABOD=BACBBAD=CADCC=DDBOD=COD【答案】C【详解】OD/AC，BOD=BAC、D=CAD、C=COD，故A选项正确，OA=OD，D=BAD，BAD=CAD，故B选项正确，OA=OC，BAD=C，BOD=COD，故D选项正确，由已知条件无法得出C=D，故C选项错误，故选C.2（2018北京中考模拟）有下列四种说法：半径确定了，圆就确定了；直径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆其中，错误的说法有（）A1种 B2种 C3种 D4种【答案】B【详解】圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦
5、，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确其中错误说法的是两个故选：B3（2018上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【详解】（1）一个三角形
6、只有一个外接圆，正确；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；故选：C4（2018湖北中考模拟）有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等；圆中90角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的圆周角相等其中正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】试题解析：同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；圆中90圆周角所
7、对的弦是直径，故错误；弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对的圆周角也不一定相等，故错误.综上所述，正确的结论有2个，故应选B.5（2017广东中考模拟）如图，在O中，AB为直径，CD为弦，已知ACD40，则BAD的度数为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：在O中，AB为直径，ADB=90，B=ACD=40，BAD=90B=50故选D【考查题型汇总】考查题型一 利用圆的半径相等进行相关计算1（2019浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B是O上三点，若AOC=40，则ABC的度数是（ ）A10 B20 C40 D80【答案】B【解析】
8、根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以ACB的度数等于AOB的一半,故选B2（2018黑龙江中考模拟）如图，点A、B、C都在O上，若AOC=140，则B的度数是（）A70B80C110D140【答案】C【解析】详解：作AC对的圆周角APC，如图，P=12AOC=12140=70P+B=180，B=18070=110，故选：C3（2019四川省平昌中学中考模拟）如图，在O中，直径CD弦AB，则下列结论中正确的是AAC=ABBC=12BODCC=BDA=BOD【答案】B【详解】解：直径CD弦AB，弧AD =弧BD，C=12BOD故选B4（2018贵州中考模拟）如图，O是ABC
9、的外接圆，B=60，O的半径为4，则AC的长等于（）A43B63C23D8【答案】A【解析】试题解析：连接OA，OC，过点O作ODAC于点D，AOC=2B，且AOD=COD=12AOC，COD=B=60；在RtCOD中，OC=4，COD=60，CD=32OC=23，AC=2CD=43故选A5（2019云南中考模拟）如图，已知：在O中，OABC，AOB=70，则ADC的度数为（）A70B45C35D30【答案】C【详解】解：OABC，AOB=70，=AC，ADC=12AOB=35故选C6（2019广西中考模拟）如图，AB是O的直径，C是O上一点（A、B除外），AOD136，则C的度数是（ ）A4
10、4B22C46D36【答案】B【详解】AOD136，BOD44，C22，故选：B考查题型二 圆心角与圆周角的关系解题1（2019武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE是O的直径，半径OA弦BC，点D为垂足，连AE、EC（1）若AEC28，求AOB的度数；（2）若BEAB，EC3，求O的半径【答案】（1）56（2）3.【详解】解：1连接OC半径OA弦BC，AC=AB，AOC=AOB，AOC=2AEC=56，AOB=562BE是O的直径，ECB=90，AC=ABAEC=BEA，BEA=B，B=AEB=AECB+AEB+AEC=180，B=AEB=AEC=30，EC=3，EB=2EC=6，O的半径为
11、32（2018吉林中考模拟）如图，AB是O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与O相切于点D，连结BD、AD（1）求证；BDCA（2）若C45，O的半径为1，直接写出AC的长【答案】（1）详见解析；（2）1+2【详解】(1)证明：连结OD如图，CD与O相切于点D，ODCD， 2+BDC90，AB是O的直径，ADB90，即1+290，1BDC， OAOD， 1A， BDCA； （2）解：在RtODC中，C45，OC=2OD=2AC=OA+OC=1+2 3（2019苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果BAD30，且BE2，求弦CD的长【答案】4
12、3【详解】解：连接OD，设O的半径为r，则OEr2，BAD30，DOE60，CDAB，CD2DE，ODE30，OD2OE，即r2（r2），解得r4；OE422，DEOD2-OE242-2223，CD2DE43知识点二 圆的基本性质n 对称性1. 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线2. 圆是中心对称图形。n 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1） 过圆心，作垂线，连半径，造RT，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分n 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：
13、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等n 圆周角定理（考点）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）n 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角【考查题型汇总】考查题型三 运用垂径定理进行相关计算1（2019苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰ABC内接于半径为5的O，ABAC，tanABC13求BC的长【答案】BC6【详解】连接AO，交BC于点E，连接B
